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Siebentes Capitel. II. Abschnitt. 
Soweit wollte ich hier den Plan für eine Theorie der eindeutigen 
Functionen mit linearen Substitutionen in sich entwerfen, um anzu 
deuten, wie auch die algebraischen Gleichungen (r(|,^)==0 höheren 
als ersten Ranges durch eindeutige Functionen zu behandeln wären, 
indem man darin £ und rj als eindeutige Functionen einer neuen un 
abhängigen Variabeln x betrachtet. Allerdings hat mau dabei noch 
eine wichtige Aufgabe zu lösen, die der Bestimmung primitiver Pe 
rioden von analog ist, wenn eine Gleichung 
rf _ 4£3 = 0 
vorgegeben ist, d. h. man mufs die Substitutionen ermitteln, welche 
die eine vorgelegte Gleichung lösenden Functionen %{x),r}{x) zulassen. 
Die hier skizzirte functionentheoretische Behandlung der Func 
tionen mit linearen Substitutionen in sich ist nicht im Entferntesten 
durchgeführt, und die gröfste Schwierigkeit scheint gleich in der 
Construction der fundamentalen Hilfsfunction <p zu liegen, die nach 
der Gruppe verschieden ausfalleu mufs, aber erst in dem einzigen 
speciellen Falle der Functionen nullten Ranges angegeben ist. *) 
M. Poincare hat zwar die Existenz der Functionen — wenigstens 
im Principe — bewiesen und die Abhängigkeit der zu derselben 
Gruppe gehörigen Functionen erschlossen, und der Yerf. machte 
dann die Unterscheidung der Functionen p ten Ranges, so dafs all 
die genannten Sätze auf Wahrheit Anspruch machen, sie konnten 
aber hier nicht entwickelt werden, wenn wir von der Betrachtung der 
Riemann’schen Flächen und ihren conformen Abbildungen keinen 
Gebrauch machten, und das durften wir nicht, wenn wir an dem 
functionentheoretischen oder rein analytischen Wege festhalten.**) 
Wir gehen noch einmal auf die zu der Gruppe aller ganzzahligen 
linearen Substitutionen mit der Determinante Eins gehörige Function 
J(t) zurück, die vom ersten Grade und nullten Range ist, weil J (x) 
in dem Bereiche B n nur für r = i<x> und nur für x = o von der 
ersten Ordnung unendlich wird. Die beigefügte Figur zeigt wieder 
die Art der Werthevertheilung an den verschiedenen Stellen des Be 
reiches von x, An den Stellen q und und den äquivalenten kom 
men je sechs dem Ausgangsbereiche jR 0 äquivalente Bereiche zusammen, 
und r—i und die congruenten Stellen sind Grenzstellen zweier durch 
die Substitution (x, — auseinander hervorgehender Bereiche. Von 
*) Mangoldt, Göttinger Nachrichten 1886. 
**) Bezüglich der Functionen mit ganzzahligen Substitutionen in sich ver 
weise ich auf die mannigfachen Arbeiten Klein’s in den Mathem. Annalen.