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Achtes Capitel.
unendlich viele Stellen des Convergenzbereiches der die Function dar
stellenden Potenzreihen $(#], x 2 , ... x n | (x^)) verschwindet — wobei
diese Stellen aber (a: (0) ) nicht zur Häufungsstelle haben können — in
entsprechender Weise ausdrücken kann, also als Product einer in end
lichem Bereiche um die Stelle (;r (0) ) nicht verschwindenden Potenzreihe
und einer analytischen Function, die daselbst all die Nullstellen von
F{x x , x 27 ... x n ) annimmt. Der einfacheren Schreibweise wegen sprechen
wir von einer Function
F(x j 37] , x 2 , . . , Xn) ,
welche Null wird, wenn alle (n -f- 1) Variabeln verschwinden.
Bezeichnet man F(x, 0, 0 ... 0) mit F 0 (x) und setzt voraus, dafs
F 0 {x) nicht identisch Null ist, schreibt dann
F{x, Xjj x 2 , ... Xn) = Fq(x) F^(x, Xf,... x n )y
wo F y {x, 0, 0, ... 0) identisch verschwinden mufs, so kann man eine
positive Gröfse p, derart bestimmen, dafs F 0 (x) in dem Bereiche:
0<\x\< p,
nicht verschwindet und die Potenzreihe für F t (pj, x x , ... x n ) con-
vergirt, ohne dafs eine der Greisen x l} x 2 , ... x n Null ist. — Ist p 0
eine positive Gröfse innerhalb des Intervalles von 0 bis p t und be
schränkt man \x\ auf den Bereich, wo
Po < M < i>i,
so kann man ferner eine positive Größe p so klein wählen, dafs für
alle Werthesysteme (x, x ly ... x n ), welche den Bedingungen genügen:
\x v \ < p (v = 1,2...w) und p 0 < \x\ < p, ,
die Ungleichung besteht
I F o(F\ > \F x {x, x ]f ...x n )I,
und dann darf man
1 J_ 1
F \_F_
F
F{x, x u ...x n )
im
und
setzen
1 dF = (IF
F dx Vgx
“
Doch weil die Summe
\_L Vf FV i dF 0
' f 0 ¿Lj \fJ ~~ F 0 dx
J_(JFV
X \F n J
-y
lll
(F\
i dx
<F 0 )
in dem genannten Bereiche gleichmäßig convergirt, gilt daselbst auch
die Gleichung
l dF _ l dF 0 d_ ^7 i (F\ l
F dx F 0 dx dx ¿Li l \F n )