Analytische Functionen mehrerer Yariaheln. 431
Beginnt die Entwicklung von F n (x) mit dem Gliede Cx m , so wird
* = _j_
F 0 d x x 1 ^ v ' 7
und indem
CO
\ ( p ) l = ^ > X ir • • • oc n ) x~ mX +^
0 n — 0
CO ^ ^
( jP {| ) === • • • X n) " *® 1,
gesetzt werden kann, wo und ^ß v convergente Poteuzreihen sind,
so erhält man für -i- ~4^~ eine Darstellung der Form:
F dx °
y|r-T + s P(*)
co
0iC
^ßv (^i ) *^2 ' • ‘ • ^'re) ■^' V *
Man kann jetzt zeigen, dafs innerhalb des Bereiches, wo | x v | < p
(y = 1, 2 ... n) ist, zu jeder Stelle Werthe von x gehören, die die
Gleichung
F{x, x x , ... x n ) = 0
befriedigen und dem absoluten Betrage nach kleiner sind als p,. In
der That: könnte mau für eine solche Stelle (a,, a 2 ... a n ) keine Wurzel
der Gleichung
F(j (x) F^ (X , d\ j 0><i; • • • ®n) — 0
finden, d^ren Betrag kleiner ist als p u so liefse sich in dem
Bereiche, wo \x\ < pj, in eine blos positive ganze Potenzen von x ent
haltende Reihe entwickeln, die für die in dem Bereiche p 0 < | x ) < pj
liegenden Stellen mit der früheren übereinstimmen müfste. Doch das
ist unmöglich, indem diese Entwicklung ein Glied — enthält.
Heifsen die einer Stelle {x X) x 2} ... x n ) zuzuordnenden Nullstelleu
von F{x, x l} x 2 , ... x n )
xW, x^, ... x^,
jede so oft genommen, als die Ordnungszahl anzeigt, so kann man
l dF
f d
F __
x ¿—J
rri x — X
(*)
in eine für alle Werthe von x, deren Betrag kleiner ist als p,, con
vergente Potenzreihe iß(a;) entwickeln. Beschränkt man aber \x\ auf
den Bereich, wo
0o < M > 0i und | £ (x) | < | # | (jc = 1, 2 ... r)
ist, so wird auch