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Achtes Capitel.
1 8F = ^ + V(a ? W) y + (^ (2) ) r +---+(^ ) ) v .
1 $ JP
Jetzt gibt der Vergleich der Darstellungen für -p- -g— die Beziehung;
(icW)° + (¿r (2) )° + • • • + (4 (r) )° — r — m,
d. h. jeder Stelle {x x , x 2) ... x n ) in der Umgebung g von — 0,
x 2 = 0, ... x n = 0 kann mau m der Gleichung F = 0 genügende
Werthe von x zuordnen, deren Betrag kleiner ist als Q t .
Bezeichnet mau die Summe der v len -Potenzen:
(#('))»' -{- (c№) v -f- • • • -f- [x^y mit s v ,
so lehrt der Vergleich unserer Darstellungen ferner, dafs
s v = v (x it x 2 , ... x n )
ist. Setzt man daher
m
und
rn
l dg ^ V 1
9 Sx x — x (*) ’
1
oder
mx m 1 + {m - l)g t x ni 2 -j h 9 m -\
x" l \- 9^ m ~ X + -‘- + 9 m ~
CO
und bestimmt hieraus die Coefficienten von g{x, x u ... x n ) als ganze
rationale Functionen von s lt s. 2 , ... s m
91 = - s -.
% 9-i = — s 2 — s, ^
m9m — ■ Sm Sm—i91 * ■ ’ s x g m — i,
oder als ganze rationale Functionen der m Potenzreihen
(x,, x 2 , .., x n ) (v = 1, 2 ... m) ,
so sind g lr g 2 . . . g m selbst Poteuzreihen von x 17 x 2 , ... x n , die in der
Umgebung q von x x — 0, x 2 — 0 ... x n = 0 convergireu. Die m
verlangten Werthe von x ergeben sich als Lösungen der Gleichung
m lcn Grades:
£"* + g x {x l} x 2 , ... x n )x m ~ 1 4 f- g m {x 1? x 2) ... x n ) = 0.
Da die Vergleichung der zwei Ausdrücke für ~ au ^ ( ^ le
innerhalb des Bereiches p, um die Stelle x = 0 gütige Gleichung führt: