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Die Elemente der Arithmetik. 
Aus den letzten Definitionen und Sätzen gehen für die neuen 
Gröfsen aus positiven und negativen Elementen wie früher die Defini 
tionen der Summe, des Productes und der Differenz entsprechend den 
Verknüpfungsregeln ganzer Zahlen hervor. 
Wir betrachten hierauf wieder die Summe einer unendlichen Menge 
positiver und negativer Gröfsen, unter denen keine mit unendlichem 
absoluten Betrage und keine unendlich oft vorkommt. Sie wird end 
lich sein, wenn eine positive Gröfse g existirt, die gröfser ist als der 
absolute Betrag jedes Bestandtheiles der Menge, und daraus folgt, dafs 
die Summen der positiven und negativen Elemente für sich endlich sind, 
wenn die aus beiderlei Elementen gebildete Gröfse endlich ist (nach 
der früheren Definition). 
Wir können auch sagen, die nothwendige und hinreichende Bedin 
gung dafür, dafs die Summe endlich ist, besteht in der Endlichkeit der 
Summe der positiven und negativen Elemente für sich, oder der End 
lichkeit der Summe der absoluten Beträge aller Elemente. 
Nennen wir nämlich diejenigen Gröfsen, in welchen die positiven 
Elemente überwiegen, a v , diejenigen, wo die negativen Elemente vor 
herrschen, b v , und setzt man 
i v = 4 1} + (—4 2) ), h = b ( ? + {-i?) 
und denkt 
.(2) 
ff) 
gewählt, wo d v und s v kleiner seien als das Glied a r einer Reihe po 
sitiver Elemente: 
a \ + a 2 "I" ' ‘ ‘ “f" “f" • ' ' 
mit endlicher Summe, so wird die ursprüngliche Summe gewifs end 
lich sein, sobald 
^ a™ und J5jb!,’) 
endlich sind. 
In den Reihen aus positiven und negativen Gliedern von endlicher 
Summe kann man die Summanden beliebig vertauschen und willkür 
lich in Gruppen zusammenfassen, ohne das Resultat der Summation 
zu ändern. 
Mit den neuen Summen rechnet man wie früher mit den aus blos 
positiven Gröfsen gebildeten Summen. 
Ist ferner