Analytische Functionen mehrerer Yariabeln. 
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wird, mufs auch 
fOi; 
SCri) 
9>o + <Pi x i + - • • + Vm x i 
fo + fi x \ + • * * + f m X T 
sein, worin die Gröfsen <p und f in der Umgebung von x 2 — 0,. . .x n — 0 
reguläre Functionen sind. 
Gibt man nun x x (2 m -f- 1) verschiedene in hinlänglicher Nähe 
von x x = 0 liegende Werthe, so erhält man neben 
f( X \ , . . . x n ) • (/„ + f\X] + • • • + fmK™) = <Po + <Pi x i + • • • + <Pm%™ 
noch (2m -\- 1) Gleichungen: 
/№>,*»» • • • *»)'• 0O+/i + • * * ■+f« (W = <P„ + 9>1 ‘ W 
(fi = 1, 2,... 2 m -f- 1) 
und wenn man aus allen Gleichungen /* 0 , /j, ... «p 0 , q> x ,... cp m eli- 
minirt, ergibt sich eine lineare Relation in 
f(x x ,... x n ), f(h [ l l) , x 2 , ... x n ) und den Gröfsen x A , x x 2 , ... x™. 
f(x l ,...x n ) kann darnach als rationale Function von x t ,...x n dar 
gestellt werden, denn f(h[^,x 2 ...x n ) sind rationale Functionen von 
/VJ /y» rp 
*"2 9 *^3; • • • '"n • 
In dem Ausnahmsfalle, wo die Determinante (2m -f- l) ten Grades 
dieses Gleichungssystemes bei jedem beliebigen Werthesysteme 
(fi — 1,2,... 2m -f- 1) 
verschwindet, gehe mau auf die Determinanten (2w) len Grades, die 
aus der früheren hervorgehen. Wenn eine derselben von Null ver 
schieden ist, folgt f(x x ,x 2 ,...x n ) wieder als rationale Function von 
X\, . •. x n . 
Der Satz gilt also allgemein, wie er oben ausgesprochen wurde. — 
Erinnern wir uns an den Entwicklungsgang bei der Darstellung 
einer eindeutigen Function einer Yariabeln und wollten wir denselben 
hierher übertragen, so müfsten wir zunächst beweisen, dafs eine ein 
deutige analytische Function f(x lf x 2 , ... x n ), die in der Umgebung 
jeder endlichen Stelle durch den Quotienten zweier Potenzreihen dar 
stellbar ist, die also im Endlichen keine wesentlich singuläre Stelle 
besitzt, immer durch den Quotienten zweier beständig convergenter 
Potenzreihen dargestellt werden kann. 
Man sollte meinen, dafs sich dieser Satz beweisen lasse, wenn 
mau eine ganze transcendente Function nicht blos durch eine beständig 
convergente Potenzreihe, sondern auch in der Form eines Productes 
ausdrücken könnte; doch diese Darstellungsform ist nicht ausgeführt, 
aufser wenn festgesetzt ist, dafs die Nullstellen der ganzen Function 
G(xi, x 2f ...x„) in ähnlicher Weise zu ordnen sind, wie die einer