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Achtes Capitel.
ersten n rationalen Functionen vom Grade ¿a, Werthesysteme
y,x¡,...x n und y l Werthe rj, die aus einer Gleichung
F {?} i j • • ■ I») — 0
hervorgehen.
Diese Gleichung ist die Transformirte der gegebenen. Man kann
sie umgekehrt in die letztere transformiren, wenn nur einmal einem
Werthesysteme £ 1; ... \ n y x verschiedene Lösungen rj entsprechen,
oder wenn bei der Bildung des Productes
I [(, - b. +1 (yw*?>)) = .
I n-(-1 » * • * *n)
wo ¿cW, ... x№, y№ die zu £, .. . % n gehörendem Werthesysteme x l}
. .. X n , y bezeichnen, ^4.1 irreductibel und nicht die ganzzahlige
Potenz einer irreductible!! Function ist.
Die durch die algebraischen Gleichungen
G{y, x 1; ... x n ) = 0 und g,, ... g n ) = 0
definirten Gebilde w ter Stufe im Gebiete von (w -f- r l) Gröfseu, deren
Stellen (wieder nur im Allgemeinen) einander wechselseitig entsprechen,
rechne man zu einer Klasse und deren charakteristische Zahl ist der
früher definirte Rang q, denn dieser ist für jedes Individuum der
Klasse derselbe.
Nach diesen Definitionen ist ersichtlich, wie mau wieder die Mono-
genität des irreductiblen Gebildes zu beweisen hat.
Es entsteht nun auch die Frage, ob die algebraischen Gebilde
n icr Stufe im Gebiete von n -f- 1 Gröfsen durch eindeutige transcendente
Functionen von n unabhängigen Variabel)! x x ,...x n zu lösen sind,
d. h. ob man x i ,...x n , y als eindeutige Functionen von n Yariabeln
Mi, . , . u n betrachten kann:
X v = / v (M, , W 2 1 • • • M n ) (v 1,2 , ... fl), y — /n-f-1 (^1 > ^2 J • • • M n ))
die in der vorgegebenen algebraischen Beziehung stehen.
Es ist zu vermutheu, dafs die Gleichungen G{y,x i ,...x n ) = 0
ersten Ranges durch 2 n fach periodische Functionen zu lösen sind,
die im Endlichen keine wesentlich singuläre Stelle besitzen*). Hier
ist unter einer 2 n fach periodischen Function f{u l , m 2 , .. . u„) eine
Function der Beschaffenheit verstanden, dafs für 2n Systeme con
stanter Gröfsen
(pw,i«;...p№) 4 = 1,2,...2»)
*) Vergleiche die Sätze von Weierstrass „über die 2«fach periodischen
Functionen von n Variabein“ in dem Journal für reine und angewandte Math.
Bd. 89.
