32 Erstes Capitel. 
der rationalen Gröfse c kleiner ist als Eins, und vergleichen sie mit 
einer Reihe 
a -f- ac -f- ac 2 -{- • • • -f- ac n + •••, 
wo a gröfser ist als jede der Gröfsen a v . Die Summe der ersten Reihe 
ist gewifs kleiner als die der zweiten, denn jeder Bestandtheil jener 
gehört auch dieser an. Die Summe der ersten n Glieder der ersten 
Reihe ist nicht gröfser als 
a -f- ac -f ac 2 -f~ • • ac n ~ l = a ' c ■ 
und der absolute Betrag jener Summe ist kleiner als die endliche 
Zahlengröfse 
a 
1 — c 
Das gilt für jedes n, daher ist die Summe der ersten Reihe endlich. 
Bestellen die Gröfsen a v und c aus unendlich vielen Elementen, 
so bestimme man zwei positive rationale Gröfsen a und y, derart dafs 
a > a v {y = 1,2...) und 1 > y > | c \, , 
wo |c| den absoluten Betrag von c bezeichnet. Dann ist der absolute 
Betrag jedes Gliedes a v c v 
\a v c v \ < uy v 
und der absolute Betrag der Summe einer endlichen Anzahl von Glie 
dern der vorgelegteu Reihe wird wieder kleiner als 
a 
1 — y J 
d. h. auch jetzt ist die Reihe ^a v c v endlich. 
v = ü, 1,2 ... 
Die Anwendung dieser Betrachtungen auf die oben gebildete Reihe 
JL + JL(_ n. . . 
p ' p \ p / 1 p \ p / 1 'p\ p / 1 * 
deren Glieder immer kleiner und kleiner werden, lehrt unmittelbar, 
dafs sie eine endliche Summe besitzt. — 
Das Product der Reihe und (p -f- q) ist ferner gleich n, denn 
man kann entsprechend einem vorgelegteu Bestandtheile von a ein n 
so bestimmen, dafs auch die Summe 
(i> + 2) -2f (—f) y ~'=(P + 2) ■ f / P A 
*=• ‘"ryJ 
oder 
•(‘-(-fr) 
diesen Bestandtheil besitzt, und umgekehrt ist jeder Bestandtheil des 
Productes in a enthalten.