Die Elemente der Arithmetik. 
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Die Änderungen in den Annahmen, h sei negativ, a positiv oder 
negativ, bedürfen gewifs keiner Besprechung mehr und wir können 
sagen, dafs wir für die aus unendlich vielen positiven und negativen 
Elementen zusammengesetzten endlichen Gröfsen die arithmetischen 
Operationen den Forderungen gemäfs definirt haben und berechtigt 
sind, die neuen Gröfsen als Summen unendlicher Reihen in die Rech 
nung aufzunehmen. 
§ 7. Zweite Deflnitionsform der irrationalen Zahlengröfsen. 
Zur Begründung der neuen Gröfsen, die wir irrationale Zahlen 
gröfsen nennen, wenn sie nicht wie die Reihe mit rationalen 
jL-i 10 
v=l,2... 
Gröfsen Übereinkommen, wurden wir veranlafst, als die Forderung ge 
stellt war, die rationalen Zahlengröfsen in einer bestimmten Form 
darzustellen. Mau wird zu den neuen Gröfsen bei vielen anderen Auf 
gaben gedrängt. Fragt man z. B. nach einer Gröfse x, welche die 
Eigenschaft hat, mit sich selbst multiplicirt eine positive rationale 
Zahlengröfse A zu geben, so stellt sich heraus, dafs unter den ratio 
nalen Zahlengröfsen keine der verlangten Art existirt, wenn A nicht 
selbst die zweite Potenz einer solchen ist. 
Gibt es eine rationale Gröfse x — —, derart dafs 
n ' 
p . p 
q ‘ q 
a 
b 
ist, wo a und l) und ebenso p und q ohne gemeinsamen Theiler vor 
auszusetzen sind, auf dafs auch p 2 und q 2 keinen gemeinsamen Theiler 
besitzen, so ist 
p 2 h = q^a. 
Weil hier p 2 und a, q 2 und h wechselweise durcheinander theilbar 
sein müssen, zerfällt die letzte Gleichung in die folgenden 
P 2 = a, q 2 =l) 
und man hat nur mehr Gröfsen p und q zu suchen, die mit sich selbst 
multiplicirt die ganzen Zahlen a respective h geben. 
Ist a eine bestimmte ganze Zahl gleich oder gröfser als 2, so 
schreiben wir zunächst die ganze Zahl ai>a in der Form: 
c 0 a m + Cj a m ~ 1 -1 f c m , 
worin c 0 , c, ,.. c m Zahlen aus der Folge 0, 1,2...« — 1 bezeichnen. 
Das Verfahren zur Ermittlung einer Gröfse p, welche der Gleichung 
pp — a genügt, besteht dann darin, dafs man zuerst die gröfste Zahl 
«, der Form ß { «<“ (ß l << «) sucht, für welche 
a 
«i 2 > 0 
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