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Erstes Capitel. 
ist, dann die gröfste Zahl a 2 der Form ß 2 a^~ l (ß 2 > a), derart dafs 
a — («, -f- « 2 ) 2 > 0 
wird usw. 
Wenn es keine rationale Zahl 
P — a \ + a 2 + * ‘ == ßi afl + ß<y + ' • • + ß/u+l 
der verlangten Beschaffenheit gibt, oder — wie man sagt — keine 
rationale zweite Wurzel aus a, so läfst sich das angegebene Verfahren 
unbegrenzt fortsetzen und die successive gewonnenen rationalen Gröfsen 
P\ ~ a \ > P2 ~ a \ “h a 2> • • • Pn — «) -f- « 2 -f" ' * " H - a n f • • • 
haben die Eigenschaft, die von p geforderte Beschaffenheit immer ge 
nauer und genauer zu erfüllen, indem die Differenzen 
a — P\ 2 , a—p.ß, .. . a — p n 2 , ... 
immer kleiner und kleiner werden. Zu einer beliebig kleinen positiven 
Gröfse d kann man aber ein m so bestimmen, dafs die Differenz jedes 
auf p m folgenden Gliedes p m ^ der unbegrenzt fortsetzbaren Reihe 
und p m selber kleiner wird als ö. 
Wir betrachten allgemeiner eine unendliche Menge rationaler 
Gröfsen 
und setzen fest, dafs zu jeder beliebig klein gewählten positiven (ratio 
nalen) Gröfse ö nur eine endliche Anzahl (m — 1) von Gliedern der 
Folge («,, a 2 , a 3 .. .) gehöre, derart dafs die übrigen Glieder paar 
weise eine dem absoluten Betrage nach kleinere Differenz besitzen, als 
ö anzeigt. Eine solche Reihe von Gröfsen mit der Eigenschaft 
heilst eine Fundamentalreihe und speciell eine Elementar reihe, wenn 
die absoluten Beträge der Gröfsen a n mit wachsendem Index n unter 
jede noch so kleine positive Gröfse herabsinken.*) 
Aus diesen Definitionen geht hervor, dafs die absoluten Beträge 
der Glieder einer Fundamentalreihe stets kleiner bleiben als eine end 
liche Gröfse und gröfser als eine von Null verschiedene Gröfse. 
Eine lieihe endlich bleibender Gröfsen a v , deren absolute Betrüge 
von einem bestimmten m ob niemals abnehmen, ist eine Fundamental 
reihe. 
Wäre nämlich die Eigenschaft 
| O/n^v a n j <C d 
nicht erfüllt, so müfsten die absoluten Beträge | a v | mit wachsendem 
*) Yergl. Heiue’s Abhandlung in Crelle’s J. ßd. 74.