Die Elemente der Arithmetik.
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Wenngleich wir bereits zu beurtheilen im Stande sind, ob eine
rationale Zahlengröfse gleich, gröfser oder kleiner ist als die einer
Fundamentalreihe (a,, a 2 ,...) zugeordnete Gröfse, müssen wir das
Verhalten der neuen Grölsen zu den rationalen noch genauer unter
suchen.
Wenn man zu einer unendlichen Menge rationaler Zahlengröfsen
a if a 2 , . . . eine rationale Zahlengröfse a so angeben kann, dafs der
absolute Betrag |a — a n \ mit wachsendem n kleiner wird als jede
noch so kleine positive Gröfse 8, dann heilst a der limes oder die
Grenze der Größen a r .
Besitzen darnach die Glieder einer Fundamentalreihe eine ratio
nale Grenze a, so ist a die der Reihe zugeordnete Gröfse a, denn
Ci iij ^ CC y • • •
ist zufolge der Definition der Grenze eine Elementarreihe. Jetzt ist
a — a = 0, a — a oder lim a v = a,
V = co
wenn die Grenze der Gröfsen a v bei wachsendem v mit lim a v be
zeichnet wird, und oo das Zeichen dafür ist, dafs v unbeschränkt in’s
Unendliche wachsen soll, —
Wir finden also, die Grenze lim a v existirt und ist gleich a.
r — GC
Um diesen Satz verallgemeinern zu können, schicken wir wieder
eine Definition voraus.
Man sagt, die Glieder einer unendlichen Menge von Gröfsen
die der Reihe nach den Fundamentalreihen
(«i (ra) , a 2 n) , . .. ctfn ... ) {n = 1, 2 ...)
zugeordnet sein mögen, sinken mit wachsendem v unter jeden angeb-
baren Werth herab, wenn zu einer beliebig kleinen von Null ver
schiedenen positiven Gröfse d stets ein v = m so bestimmt werden
kann > dafs \a n+v \
für jedes v kleiner wird als 8, sobald n > m ist.
Hier kann die Gröfse 8 eine rationale Gröfse sein, oder zu einer
Fundamentalreihe (d t , 8 2 , . . . 8^ . . .) gehören. Die Fundamentalreihen
zugeordneten Gröfsen umfassen die rationalen, und wenn dann die
Gröfsenmeuge (a,,n 27 ...) für alle rationalen 8 die genannte Eigen
schaft besitzt, besteht sie auch für Gröfsen 8, welche den aus den
rationalen Gröfsen 8^ gebildeten Fundamentalreihen zugeordnet sind.
In der That: es gibt eine positive rationale Zahlengröfse d, die kleiner
ist als die Gröfsen d w _)_ v , wenn nur n hinlänglich grofs gewählt ist,
denn die 8^ sinken nicht unter jeden Werth herab. Werden nun die
Gröfsen | und \a { ”+ v) \ kleiner als d, so bleiben
