Die Elemente der Arithmetik. 
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unter den Greisen \a v \ unendlich viele, die kleiner sind als eine be 
liebig kleine Gröfse d. — Weil ferner der absolute Betrag der Summe 
jeder beliebigen aber endlichen Anzahl von Gliedern kleiner bleiben 
raufs als eine angebbare Gröise g, so kann man nach Annahme einer 
beliebig kleinen Gröise $ stets eine ganze Zahl n derart angebeu, dafs 
der absolute Betrag 
1 O m +l -f" Um+2 ~h ‘ ' ' H" \ 
für jedes g kleiner wird als d, sobald nur m n ist. 
Darum ist die Reihe der Gröfsen 
= a i , S2 = 0/2) ’ • • — Ol -j- H - ’ ’ ’ -f - On, • • • 
eine Fundamentalreihe und die derselben zugeordnete Gröise S ist ge 
rade die Summe der Reihe 
0\ -j- o 2 -J- • • • -f- a„ -{- • ’ • , 
denn es gilt S — lim S n , und lim S n ist diejenige Gröise, nach welcher 
n — Cß 71 = CO 
S i , S 2 , ... S n ... convergiren, d. h. die Summe der Reihe. 
Es entsteht nun noch die Frage, ob mit Hilfe der rationalen und 
irrationalen Zahlengröisen a und b auch andere Gröfsen zu definiren 
sind, indem man den Fundaraentalreihen aus rationalen und irratio 
nalen Gröfsen neue Gröfsen c zuordnet und ob derselbe Fortgang fer 
nerhin zu neuen Gröfsen führt oder nicht. 
Man sieht leicht, dafs man einer Reihe 
b1» ^2 > ' ’ ' • 
stets eine Fundamentalreihe aus rationalen Zahlengröfsen a so zuord 
nen kann, dafs 
- Oj , ^2 0 2 y .... Oy ... 
eine Elementarreihe wird, darum ist die der ersten Reihe zugeordnete 
Gröise b gleich der zu der zweiten Reihe zugeordueten irrationalen 
Gröise a\ man erhält also keine neuen Gröfsen c. 
Indefs aber das Gebiet der rationalen Gröfsen a und das durch 
die Fundamentalreihen dieser definirte Gebiet von Gröfsen b in der 
artiger Beziehung steht, dafs jedes a unter den b vorkommt und nicht 
jedes h in dem Gebiete a enthalten ist, wird nicht allein jedes h unter 
den c, sondern auch jedes c unter den h Vorkommen. — 
Trotz dieser gegenseitigen Deckung der Zahlengebiete b und c 
spricht man von Zahlengröfsen c zweiter Ordnung gegenüber den dem 
Gebiete ungehörigen (rationalen und irrationalen) Gröfsen der ersten 
Ordnung, dann von Gröfsen dritter und n ler Ordnung, wenn sie aus 
den Gröfsen der ersten zwei oder (n — 1) Gebiete gebildet sind, ob 
gleich nirgends mehr neue Gröfsen durch Fundamentalreihen hervor 
gehen, die nicht in dem Gebiete b enthalten wären. — 
Diese Bemerkung werden wir später verwerthen. —