44 Erstes Capitel.
Werthe haben, dafs A nicht für ein beliebiges Werthesystem
(ßi, ß 2 ,...ß n ) Null wird, kann es trotzdem specielle Werthesysteine
und specielle Gröfsen h geben, für die A verschwindet. Wählt man
aber die Gröfsen sfl allen genannten Bedingungen gemäfs, setzt a = 0
oder a, = a 2 = • • • = a n = 0 und bestimmt hierauf die Gröfsen /3,,
ß 2 ,...ß n , derart, dafs A = 0 ist, so kann man für die*Gröfsen y v
unendlich viele Werthe angeben, welche den Gleichungen
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Ni T, 2C ß,.) = 0 0=1,2,...«)
V—l V=1
genügen, und zu jedem Werthesystem gehört dann eine Gröfse c der
Beschaffenheit, dafs das Product unseres speciellen h und c Null ist,
ohne dafs ein Factor verschwindet. «
Deshalb heifst eine solche specielle Gröfse h ein Theiler der Null.
In der Theorie der Zahlengröfsen aus einer Haupteinheit konnte
mau nur der Null unendlich viele Gröfsen y gleicher Art zuordnen,
so dafs
0.7 = 0
ist, es war also nur die Null ein Theiler der Null, oder ein Product
konnte nicht verschwinden, wenn nicht einer der Factoren Null war.
Will man diesen Satz in der Theorie der aus mehreren Haupt
einheiten zusammengesetzten Gröfsen erhalten sehen, so mufs man
offenbar den Gröfsen noch derartige Beschränkungen auferlegen,
dafs A nur für /3, .= /3 2 = • • • = ß' n — 0 verschwindet. Wir thun
dies in dem Falle zweier Einheiten e, und e 2 . — Da lauten die Be
stimmungsgleichungen für die Gröfsen y t und y 2 mit Rücksicht auf
die bei der Multiplication eingeführten Bedingungen für die Gröfsen
7, [(na + n , v)ß i + ngß 2 ] -f y 2 [ngß i -f n'pß 2 ] = a t
7i 0*01 + x'rß 2 ] + y 2 [n'tßj -f (nQ - n'a)ß 2 ] = a 2 .
Die Determinante dieses Gleichungssystems wird
A = (rjr' 2 -f- ÖTCTt' — Qlt 1 ) • [t /3j 2 — <7/3, /3 2 — p/3 2 2 ]
und die Auflösungen beifsen:
7, = + Oi> — ä'ö) ß 2 ] a i — [ngß { + 7C r Qß 2 ] cc 2 1
= = 2r{O T 0l + 7C ' t ß 2 ] CC l — [(*<* + Ä '*)01 + ^i>0 2 O2} •
Da nun A nicht identisch oder für jedes beliebige Werthepaar (/3,,/3 2 )
Null sein soll, darf der von /3 t und ß 2 freie Factor
Ö = T7C' 2 -j- ÖTCn QTt 1
nicht verschwinden. Mit dieser Bedingung ist das identische Ver
schwinden unserer Determinante ausgeschlossen, denn offenbar kann
