Die Elemente der Arithmetik. 
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und jetzt ist leicht ersichtlich zu machen, dafs nicht e 2 = 0, sondern 
9 2 _ 6 g — Q tg 0 = 0 
ist. 
An Stelle von g 0 und g setzen wir noch andere Haupteiuheiten e 
und zwischen denen die einfachere Gleichung 
h 2 + e 2 2 === 0 
stattfindet. 
Bildet man aus der Gleichung zwischen g und g 0 die folgenden: 
9 2 ~ ß 99o — Q r 9o 2 = 0 7 (9 ~ -fi'o) 2 — 9o 2 ((-f)“ + i»r) = 0, 
bezeichnet die positive Gröfse —((“f - ) 2- ! - i? 7 ) mit ^ 2 ? 80 stehen die 
Gröfsen 
i = T iß — y 0o) und e = 9o 
in der verlangten Beziehung — und ebenso e — g 0 und 
*' T (?-{»)• 
Weil e — g 0 eine Gröfse ist, mit der multiplicirt jede Gröfse un- 
geändert bleibt, setzen wir e = 1 und finden 
i° — 1, ¿ 2 =-—1, i 3 = —i } i x = 1, == 0 = 0,1,2,3.) 
Unter i selbst kann man die positive oder negative zweite Wurzel aus 
— 1 verstehen. Kommen wir überein, ]/ — 1 mit 7 zu bezeichnen, so 
ist das früher genannte Multiplicationsverfahren für die aus den be 
sonderen Einheiten 1 und i = ]/ — 1 zusammengesetzten Gröfsen der 
Form 
+ £2 & 
in der Gleichung: 
ah = (a t -f « 2 ») (/J, + ß,i) = («,/?, — <x 2 ß 2 ) + (a 2 ß i — a,/3 2 )i 
und das Divisionsverfahren in der Gleichung 
«1 + “a 4 «ißi + «2(^2 | «2P1 — «1 <3 g • 
01+ &* ~ ßS+ßt* ^ 0, 2 +0 2 * 
ausgesprochen. 
Die Gröfsen a = a, —{— oi 2 z nennt mau im engeren Sinne complexe 
Zahlengrössen, 1 und 2 sind ihre Haupteinheiten, — 1 und — 2 die 
entgegengesetzten (negativen) Hauptelemente. Die aus der Einheit 1 
und deren Bruchtheilen gebildeten Zahlengröfsen « heifsen reeZ/, 1 die 
reelle Einheit, und die aus diesen entstehenden Gröfsen ai imaginär 
und i die imaginäre Einheit. Darnach hat die complexe Gröfse a 
= a, -f- a 2 i einen reellen und einen imaginären Theil. 
Diese Zahlengröfsen werden wir in die Rechnung aufnehmen, 
denn sie erfüllen alle gestellten Forderungen. Man mufs aber jetzt 
fragen, ob man nicht auch Gröfsen, die aus mehr als zwei Haupteiu-