Die Elemente der Arithmetik. 
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§ 9. Graphische Darstellung der Zahlengröfsen. 
Wenn wir zu dem Begriff der Zahl nur durch Betrachtung realer 
Objecte mit gemeinsamen Merkmalen gelangen konnten, liegt es nun 
nahe zu fragen, ob wir nicht von den rationalen und irrationalen und 
den complexeu Zahlengröfsen ein Abbild schaffen können, an dem uns 
das formale Denken zuversichtlich erleichtert wird, da unser Denken 
ohnehin in letzter Instanz an Dinge der Sinnenwelt anknüpft und auf 
Erfahrungen über Vorgänge an Dingen der Sinnen weit gestützt ist. 
Auf einer geraden Linie lassen sich die Punkte dadurch begriff 
lich fixiren, dafs man nach Annahme einer Mafseinheit ihre Entfer 
nungen von einem festen Punkte 0 der geraden Linie in dieser Mafs- 
einheit angibt. Diesem Punkte 0 ordnen wir die Zahl Null zu und 
fassen ihn als „Träger“ der Null auf. Tragen wir von 0 aus die be 
stimmte Strecke, welche als Mafseinheit fixirt ist, ein, zwei, wmal auf 
den beiden Theilen der geraden Linie auf, so sollen die Endpunkte 
dieser Vielfachen der Mafseinheit Träger der Zahlen -J- 1, -j-2, . .. -f-w... 
resp. — 1, —2,.,. —n ... sein, je nachdem wir uns in dem vor 
her fixirt gedachten positiven oder negativen Theile der Linie befinden. 
Die gleich grofsen Strecken zwischen zwei aufeinander folgenden 
Punkten, die die Träger von -|- a oder — a und + [a -f- 1) sind, 
theile man in n gleiche Theile und fasse den wten Theiluugspunkt, 
den man bei dem Fortschreiten von dem 0 näher liegenden Punkte 
erreicht, als Träger von 
auf. — So wird die Entfernung durch eine rationale Zahlengröfse 
fixirt, wenn sie in rationalem Verhältnis zur Mafseinheit steht; wenn 
aber dieses Verhältnis irrational ist, wird mau eine unendliche Anzahl 
rationaler Elemente a x , a 2 ,...a n ... so augeben können, dafs die 
den Summen 
a \) a l "j" a 2> • • • a ] “f" #'2 ~h ’ ’ ’ "f" a n, • • 
(er) 
zugehörigen Punkte dem durch eine Zahlengröfse zu fixirenden Punkte 
mit wachsendem n beliebig nahe kommen, und man sagt: Die Ent 
fernung des Punktes ist a, wenn a die der unendlichen Reihe 
-f- a 2 -f- • • •) oder wenn a die der Fundamentalreihe (a) zugehörige 
Zahlengröfse ist. 
Nach diesen Festsetzungen leuchtet ein, dafs zwei Entfernungen 
gleich oder verschieden sind, wenn die dieselben fixirenden Zahlen 
gröfsen gleich oder verschieden sind. 
So dienen die reellen Zahlengröfsen zur Bestimmung der Lage 
eines Punktes, und da umgekehrt jeder Zahlengröfse ein bestimmter 
Punkt der geraden Linie zuzuordnen ist (ein Satz, den Cantor mit 
Biermana, Functionentheorie. 4