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Erstes Capitel. 
die Summen der Reihen ^\a' v \, |u v [ uud ^.a v endlich. Wir 
haben also den Satz: 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs die 
Summe unendlich vieler complexer Gröfsen endlich ist, besteht in 
dem Endlichsein der Summe der absoluten Beträge dieser Gröfsen. 
Ferner erkennt mau als eine nothwendige und hinreichende Bedingung 
für das Endlichseiu der Summe der unendlichen Reihe die folgende; 
Es mufs der absolute Betrag der Summe von beliebig aber nicht 
unendlich vielen ivillkürlich gewählten Gliedern der Beihe kleiner 
bleiben als eine endliche positive Gröfse g. 
Angenommen die Summe der unendlich vielen Gröfsen a v sei end 
lich, daun ist auch die Summe der Reihe ^,\a v \ endlich und darum 
V 
existirt eine positive endliche Gröfse g, die gröfser ist als die Summe 
irgend einer endlichen Anzahl von Gliedern \a v \. Ist aber für irgend 
einen Werth von n 
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so wird umsomehr 
n 
und die genannte Bedingung ergibt sich als nothweudig. Sie ist aber 
auch hinreichend, denn aus der Voraussetzung 
n 
folgt jetzt 
n 
n 
n 
n 
ln der That nehmen wir diejenigen Gröfsen a v aus der Summe 
heraus, in welchen z. B. der reelle Theil positiv ist, uud nennen wir 
sie ß' v -f- a" i, so wird 
n 
n 
n 
9 > | ¿7?; + i^a'v I > 2> 
usw. 
Ein weiteres Theorem ist das nachstehende: 
Haben die unendlich vielen Zahlengröfsen 
a v = d v -f- a” i (v = 1, 2 ...) 
eine unendliche Summe S, so kann man nach Wahl einer beliebig 
kleinen positiven Gröfse ö stets ein n finden derart, dafs der abso 
lute Betrag von