Die Elemente der Arithmetik. 
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für jedes g Meiner wird dis d, sobald nur m > n ist. 
Da diese Behauptung für die Reihe der absoluten Beträge 
1 a \ I -f" I a 2 I 4“ ’ ' ’ ~h I a r I "j“ ' • • 
zutriift und die Summe von absoluten Beträgen \a v \ nicht kleiner ist 
als der absolute Betrag der Summe der Gröfsen a v , so ist das Theo 
rem richtig, 
n 
Die Summen S n = a v convergiren nach der endlichen Gröfse 
VZ=. 1 
S, denn es ist 
| S — S n | < d {n^>m) 
und darum sagt man: die unendliche Reihe ^da v convergirt. 
V 
Wie die ßechnungsoperationen mit Reihen complexer Gröfsen 
ausgeführt werden, bedarf keiner Erläuterung mehr. 
Die in Rede stehenden Reihen, in welchen die Reihen der posi 
tiven und negativen Glieder '/^ l d v und für sich endliche Sum 
men haben, nennt man unbedingt convergent, womit angezeigt sein 
soll, dafs die Convergenz nach S unabhängig von der Anordnung der 
Terme a v eintritt. Nun sprechen wir den ersten der obigen Sätze 
folgendermafsen aus: 
Convergirt eine Reihe unendlich vieler complexer Gröfsen un 
bedingt, so convergirt auch die Reihe der absoluten Beträge der 
Gröfsen, und umgekehrt mufs eine Reihe unbedingt convergent 
sein, wenn die Reihe der absoluten Beträge — oder wie man 
sagt — wenn die Reihe absolut convergirt. 
Reihen, deren Summe S von der Anordnung ihrer Glieder abhängig 
ist, heifsen bedingt convergent, und Reihen, deren Summe bei jeder 
Anordnung der Terme unendlich sind, divergent. Die bedingt conver- 
genten Reihen nehmerf wir nicht in die Rechnung auf, da ihnen der 
Charakter von Summen abgeht. 
§ 11. Producte unendlich vieler Paetoren. *) 
In diesem Capitel haben wir noch das Product unendlich vieler 
Zahlengröfsen c v zu definiren. Den früheren Betrachtungen gemäfs 
mufs die Definition derart gewählt werden, dafs das unendliche Pro 
duct den Fall eines endlichen Productes c, c.,... c n umfafst und für 
*) Siehe Weierstrafs in Crelle’s Journal Bd. 51, Pincherle 1. c. und 
Mittag-Leffler in Acta mathematica Bd. 4.