Die Elemente der Arithmetik. 
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Factoren endlich sein und das ist ja oben verlangt worden, so mufs 
die unendliche Reihe 
9o + 9i + 4 h 9v H 
unbedingt convergireu 5 dann aber convergirt diese Reihe nothweudig 
absolut. 
Bezeichnet man den absoluten Betrag von a v hier mit cc v und setzt 
= CC V -j— CC V -j— "j~ ®v "j“ Kv “f" ' * • -j— iTj (Xy • • • 0C V f 
so wird y v > \g r \, und setzt man voraus, dafs die Reihe positiver 
Greisen 
1 + Yi + r 2 H f" Vv + * • • 
convergirt, so convergirt die Reihe der g v absolut. Damit aber von 
einer endlichen Summe der Reihe 1 -f- y x -j- Vi + • • • die Rede sein 
kann, mufs nothwendig die Reihe der absoluten Beträge der Gröfsen 
a v endlich sein, enthält ja doch y v die Gröfse |a v \ — a v , und diese 
Bedingung ist offenbar auch für die unbedingte Convergenz der Reihe 
der g nothwendig. 
Wir nehmen also an, dafs die Reihe 
C l "f ß 2 "I F “f j (Ä.) 
eine endliche Summe S besitze, und setzen fest, dafs S kleiner sei als 
Eins. Andernfalls kann man durch Absonderung einer blos endlichen 
Anzahl von Gliedern cc M eine Reihe bilden, in welcher diese Forderung 
erfüllt ist, und in dem von der Anordnung der Factoren unabhängigen 
unendlichen Producte kann man die den Gliedern cc^ entsprechenden 
Factoren (1 -j- a^) abtrennen, deren Product für sich endlich ist. Es 
bleibt dann ein unendliches Product zur Untersuchung übrig, dessen 
zugeordnete Reihe (A) eine endliche Summe S < 1 besitzt. Die posi 
tiven Gröfsen cc v sind jetzt kleiner als Eins, folglich wird 
1 -j - CCv <C 
1 — 
und 
(1 _f_ «,) (1 + « 2 ) • • • (1 + «») < (T-ä 1 j(l-« 2 )...(l-« n ) * 
Doch weil auch 
(1 — aj (1 — a 2 ) • • • (1 — «„) > 1 — («i -f- « 2 + • • • -f a„), 
wird das Product 
(1 -f «,) (1 + « 2 ) * • • (1 + «») < i _ + ... + ¿j 
und umsomehr 
(1 + ß i) (1 + « 2 ) * • * (^ + a ") < i _ s ' 
CO 
endliche Reihe 
endlich, wenn die un-