Die Elemente der Arithmetik.
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Nennt man die Summe der Greisen
ß'n-j-X i ^n-f-2» • • • + . . .
S„, so wird für hinlänglich grofse n S n kleiner als 1 und kleiner als
eine beliebig kleine vorgelegte Gröfse. Dann ist
und
1 + Kl ^
fl
1
p
p:
<
i—ä
Bringt man endlich auf die Form 1 -f - e, wo s beliebig
klein ist, und setzt
so wird
oder
P
P.
e \P t
1 <
P„
<Tl7
|P-P.| < *,
und der Beweis ist erbracht.
co
Mau sagt wieder, das unendliche Froduct n (1 -j- Uv) convergirt,
VZ=zl
wenn nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Gröfse d stets
eine solche ganze Zahl n angebbar ist, dafs der absolute Betrag
QO
FF (i + a r) ~~ 1
v~m
oder dafs für jeden Werth von g der Betrag
/7(i k ° v ^ — i-
y — m
kleiner ist als ó, sobald nur m^>n ist. Die endliche Gröfse, nach
ivelcher die Producte P„ conver giren, ist der Werth der unendlichen
Productes.
Ein unendliches Product heifst absolut convergent, wenn auch noch
Qp /
I I (1 -j- a v ) convergirt. In diesem Falle ist wegen der Ungleichung
r = l
(1 -f- a m + 0 (1 + «m+2) • * • (l+ a »i+A<) 1 > a m+l + «m+2 + * {-«m+ja
die unendliche Reihe
a \ + a 2 4" ' ‘ ' “f" ~h * * *
absolut convergent.
Sind die Gröfsen a 2 ,.,. alle kleiner als Eins und hat ihre
Summe einen endlichen Werth, so ist nicht allein № Uv), SOU-