60 
Erstes Capitel. 
dem auch das beständig abnehmende Product 17a — a v ) convergent 
ohne Null zu werden, denn es ist 
P JTd Kv ^ '' > ^ — i. a m+l 4“ «m+2 a m-\-n) 
v—m+ 1 
und wenn m so grofs gewählt ist, dafs die Summe in den Klammern 
kleiner ist als d, wird 
Pm+n > Pm( 1 - S). 
Zeigt mau umgekehrt in einem besonderen Falle zunächst die Conver- 
genz der Producte P„ nach einer von Null verschiedenen Gröfse, so 
folgt, dafs die Reihe der « t , a 2 , .,. eine endliche Summe besitzt. Die 
Couvergenz von m — a v ) zieht nämlich diejenige von 77> + «,) 
nach sich, indem 
!-*<(! — ^■w+l) (1 &m-f-2) ’ ' ‘ (1 
(1 — <Xm+l) (1 .— «« + *) ••■(!— O-m+n) <L 1 
und somit 
1^(1 + «m + l) (1 + «•/« + 2) * * * (1 + a m + fi) ^ g 
wird, wo die rechte Seite bei hinlänglich grofsen m und beliebig 
kleinen d von 1 um beliebig wenig abweicht. Z. B. das Product 
170-7) 
v=2 
ist convergent, denn die Producte 
1.2 2.4 (n+1) _ 1.2. ,.(n—1) 3.4.. .(»-fl) 
2.2 3.3 n.n 1.2 ...n 2.3 ...n 
n -f! _ 1 1 
2 n 2 ' 2 n 
convergiren mit wachsendem n nach und darum ist auch die Summe 
der unendlichen Reihe 
JL _j 1 l . . . _l _1 i_ . . . 
— + — 4 f- — H (m > 2) 
2 m 3 W r n m V ' 
Bei der Auswerthung eines absolut convergenten Productes kann 
man die Factoren beliebig in Gruppen zusammenfassen, und anderer 
seits läfst sich das Product 17a + a v ) in ein convergentes unend 
liches Product verwandeln, dessen Factoren selbst unendliche Pro 
ducte sind. 
Es sei etwa 
und umsomehr 
endlich.