Veränderliche Gröfsen, Gröfsenmengeu. 
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ene posi- 
iröfsen x, 
mfalls zu 
nehmen können, bildet eine wfach unendliche Mannichfaltigkeit oder 
eine Mannichfaltigkeit n yer Dimension. 
Die Gesammtheit der n unbeschränkt veränderlichen Gröfsen 
x v = -f- irj v (v — 1, 2 . . . n) , 
e Werthe 
wo £„ und r\ v reelle Werthe bedeuten oder unbeschränkt reelle Yariabeln 
sine posi- 
so nennt 
3 ist also 
sind, constituirt eine Mannichfaltigkeit von 2n Dimensionen und ein 
specieiles Werthesystem (a v ) ist eine Stelle oder ein Punkt dieser 
Mannichfaltigkeit. — 
Wir denken nun in der zweifach unendlichen Mannichfaltigkeit 
eine unendliche Menge (A) von einander verschiedener endlicher Punkte 
gegeben, die durch eine bestimmte Regel oder eine gemeinsame Defi 
ag dieser 
ariabeln- 
r Zahlen- 
)der eine 
: Werthe 
iriebenen 
mige mit 
nition charakterisirt seien, wie z. B. dadurch, dafs in x — £ -J- ir] die 
Coordinaten £ und rj rationale Zahlengröfsen sein sollen. • 
Hierauf definiren wir: eine (wenn auch noch so kleine) Umgehung 
r einer Stelle x 0 der Gesammtheit von Wertheu x gehört der Punkt 
menge (M) an, wenn nebst x 0 jede Stelle dieser Umgebung ein Punkt 
der Menge ist. 
Gibt es keinen Punkt x () unter den gegebenen, dem eine der 
Menge (A) angehörige Umgebung zuzuordnen ist, so heifst die Punkt 
nderliche 
menge discret. 
Angenommen, dafs eine solche Stelle x 0 existirt, so kann man 
ir kürzer 
oder ein 
eine der Bedingung \x — x 0 \ < r genügende Stelle x t herausnehmeu, 
für die sich offenbar wieder eine der Menge (A) angehörige Umgebung 
r x finden läfst. Fährt man so fort, sucht stets die Umgebung r v einer 
die Be- 
Stelle x v , die der der Menge (M) angehörigen Umgebung r v _i von 
x v -i entnommen ist, so constituirt die Gesammtheit von Punkten, zu 
denen man auf diese Weise gelangen kann, in der zweifach unend 
• defmirt 
lichen Mannichfaltigkeit von x Werthen oder in der x-Ebene, wo die 
Variable gedeutet wird, eine Menge (A x ) von Stellen, die wir einen 
gen 
Pereich nennen. Durch die beschriebene Vermittlung einer endlichen 
r (d) der 
Anzahl von Stellen kann man von jeder Stelle x () des Bereiches (Mj) 
zu jeder anderen x gelangen, ja noch mehr, man kann sogar eine 
endliche Anzahl von Stellen x v aus (M) zwischen x 0 und x' so ein 
imratheit 
beliebig 
Variabel- i 
schalten, dafs die Entfernungen 
\ X x X 0 , ä/ 2 Xq \ .... \ X X n ( 
kleiner bleiben als eine beliebig kleine Gröfse d, und die Umgebungen 
eine un- 
h unend- 
der Stellen x 0 , x x , x 2 , . . x„ mit dem Halbmesser d der Punktmenge 
{A) angehören. 
mension. 
einander 
Man sagt, die Stellen x x , x 2 . . . x n vermitteln einen zusammen 
hängenden Übergang oder einen continuirlichen Weg von x 0 nach x'. 
• OCji äll" 
Ein Bereich (Mj), zwischen dessen Stellen contiuuirliche Wege zu 
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