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Zweites Capitel. I. Abschnitt. 
Abgeleitete von P heilst. — PW braucht nicht alle Stellen von Pb) zu 
enthalten, aber jede Stelle von P< 2 ) gehört jetzt Pb) an, denn in jeder 
Umgebung einer Stelle von P< 2 ) gibt es unendlich viele Stellen von 
Pb) und in jeder Umgebung dieser Stellen unendlich viele Punkte 
der Menge P. Der Ableitungsprozeis fördert also aus P höchstens 
einmal neue Stellen. 
In der Bildung abgeleiteter Punktmengen kann man weiter gehen 
und die v ie Ableitung von P, d. i. die erste Ableitung von Pb- 1 ) auf 
suchen-, stets wird PW in Pb'— 1 ), in Pb 1 - 2 ) usw., endlich in Pb) ent- 
halten sein. Kommt man bei dieser Succession zu einem Ende, indem 
eine abgeleitete Menge PW nur aus einer endlichen Anzahl von Stellen 
zusammengesetzt- ist und PbH-*) für jedes v keine Stellen enthält, so 
heifst die Punktmenge von der w ten Ordnung. Man zeigt dies durch 
die Schreibweise an: 
p(n+D == 0. 
Beispiele: 1) Die erste abgeleitete Punktmenge der gegebenen 
Menge y , * , "'~i ■ • besteht aus der Stelle Null und es 
ist P (2 ) = 0 . 
2) Die erste Abgeleitete der Punktmenge, welche durch die inner 
halb des Bereiches von 0 bis 1 befindlichen rationalen Zahlengröfsen 
definirt ist, besteht aus allen Punkten des Intervalles einschliefslich 
der durch die Stellen 0 und 1 gebildeten Grenzen und jede folgende 
abgeleitete Menge enthält dieselben Stellen, 
3) Eine irrationale Zahlengröfse n [er Ordnung war durch eine aus 
Zahlengröfsen (n — l.) ter Ordnung gebildete Fuudamentalreihe definirt, 
die irrationale Zahlengröfse erster Ordnung durch eine aus rationalen 
Gröfsen zusammengesetzte Fundamentalreihe. Sucht man die den ra 
tionalen Gröfsen entsprechende Punktmenge, welche eine irrationale 
Zahlengröfse w ter Ordnuug definirt, so ist dieselbe durch die Identität 
pM-i) = 0 charakterisirt. 
Bezeichnet man das System der zweien Punktmengen P, und P 2 
gemeinsamen Stellen mit P) [P i , P 2 ) und nennt diese Menge den ge 
meinsamen Theiler von P, und P 2 , so erhält der früher ausgesprochene 
Hauptsatz einer Menge Q isolirter Stellen die Form: 
D{Q, QW) = 0, 
und die Beziehung auf einander folgender abgeleiteter Punktmengen 
ist in der Formel enthalten: 
D(PM, P(H-i)) = pb-H) . 
Bezeichnet man die durch Vereinigung zweier Punktmengen P t 
und P 2 ohne gemeinsamen Theiler entstehende Punktmenge P mit 
P, -f~ P 2 , so ist die frühere Punktmenge P mit der ersten Abgeleiteten