Veränderliche Gröfsen, Gröfsenmeugen. 
75 
PG) und der isolirten Menge Q in der nachfolgenden Weise zu cha- 
rakterisiren: 
P=Q + P(P, P«), 
d. h. jede Punktmenge P ist als Vereinigung einer isolirten Menge 
und einer Theilmenge von PG) darzustellen. 
Ist P selbst eine abgeleitete Punktmeuge, so wird diese Theil 
menge von PG) PG) selbst, denn es ist: 
PW == & + P(PW, PW) = Q v -f P^+1) 
und = PW — ph+i) i s t eine isolirte Menge. So ersieht man auch, 
dafs die erste abgeleitete Punktmeuge als Vereinigung isolirter Mengen 
aufzufassen ist, denn es gilt: 
pd)= (P(D — p(8)) -(- (PO) — Pi»)) -| |_ (p(n-i) _ p(»)) _|_ p(«) 
oder 
PG) = (PG) - PW) + (P(2) __ P(3)) _| , 
je nachdem PG) von der (n — l) ten Ordnung ist, oder der Ableitungs- 
procefs im Endlichen keinen Abschlufs erreicht. 
Eine Punktmeuge P, welche ihre erste abgeleitete Punktmeuge 
enthält (wo _D(P, PG)) = PG) ist), heifse eine abgeschlossene. Für 
diese ist: 
P=Q + P G), 
und weil D{Q, $G)) = 0 ist, so mufs $G) in PG) als Theiler enthalten 
sein. Enthält P neben Q und QG) noch eine Punktmenge P, so gilt: 
P=Q+QV + R, QV + B = PV. 
Während in hinlänglich kleinen Umgebungen der Stellen von Q 
keine Stellen dieser Menge existiren, gibt es in jeder Umgebung der 
Stellen von P Stellen, die R selbst angehören, folglich gehört R seiner 
ersten abgeleiteten Punktmenge PG) an: 
P(P, PG)) = P. 
Ferner ist nicht blos _D(PG), P< 2 )) = PG), sondern auch 
jD(PG), PG)) = PG), 
d. h. PG) enthält alle Stellen von PG) und keine anderen mehr. Der 
Ableitungsprocefs bringt demnach an der Menge PG) keine Aenderung 
hervor. 
Wir schliefsen diese Erörterungen über Punktmengen mit der 
nunmehr einleuchtenden Bemerkung: Nimmt man aus dem Bereich der 
unbeschränkt veränderlichen Gröfse x — | -f- irj eine abgeschlossene 
Punktmeuge heraus, von der kein Theil ein zweifach ausgedehntes 
Continuum bildet, so werden in dem Bereich ein oder mehrere Con 
tinua entstehen.