Veränderliche Gröfsen, Gröfsenmengen, 
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für die dann die analogen Ungleichungen gelten: 
Pv — 1 ^ ^ Mr / M v —1 
V 1 ^ V — V . 1 ) 
n nn 
und bildet die Gröfse: 
Q. _ Mi i / Mg Mt \ | / Ms Mg \ i 
w ~ V w? n ) ' \ n 3 ri l ) ' 
so ist diese die verlangte endliche obere Grenze. 
Bringt man G auf die Form: 
G 
GO 
-2 
w Mx~ M x + 1 
n*+ l 
oder schreibt nach Weglassung der ersten v — 1 Gröfsen — und 
G — ~ — y 
n v 
W M, 
M^+i 
und beachtet die Ungleichungen: 
— (i x+1 < n (x = v, v + 1, • • •), 
so wird die unter dem Summenzeichen stehende Gröfse kleiner als 
— • Man kann darnach eine positive Gröfse h < 1 so bestimmen, dafs 
n 
G 
h 
1 — 
wird, folglich ist G wirklich endlich, denn n war gröfser als 1. 
Führt der beschriebene Procefs nicht zum Ende, so ist die durch 
unsere unendliche Reihe definirte Gröfse G so beschaffen, dafs kein 
x' gröfser ist als G und in dem Intervalle G bis G — d Zahlengröfsen 
x' liegen. Wäre nämlich x > G, so gibt es auch ein d, für wel 
ches noch 
x' > G -j- d 
ist. Wählt man hierauf ein v, der Bedingung 
i I h n 
-*/ -i <| 
n 
h 
entsprechend, so wird 
1 
n 
n — 1 
< d 
n 
doch weil gemäfs der Definition von keine Gröfsen x' existiren, die 
gröfser sind als —, kann unsere Annahme nicht richtig sein und es 
ist jedenfalls x' > G. Da aber