Veränderliche Gröfsen, Gröfsenmengen. 
79 
hängige Gröfse der genannten Art. Unter f{x') oder f(x x ', x 2 . . . x„) 
verstehen wir dann die Werthe von y an der Stelle x’ oder (x'). 
Es sei zunächst y eine von der reellen Variabein x' abhängige 
Gröfse, die für jeden innerhalb des durch die Stellen x' — a und x' = h 
begrenzten Bereiches liegenden Werthes x' einen bestimmten endlichen 
und reellen Werth y' besitze, dann haben die unendlich vielen be 
stimmten Werthe y' eine obere und untere Grenze G und (/, für die 
der folgende Satz gilt: 
Ist Cr die obere Grenze derjenigen Werthe von y, welche den 
innerhalb des Intervalles von a bis b liegenden Werthen von x' 
zugehören, so gibt es in diesem Intervalle mindestens eine Stelle 
x' = X der Beschaffenheit, dafs die obere Grenze der Werthe y, 
welche den in beliebig kleiner Umgebung von X liegenden x' 
Werthen entsprechen, immer noch Cr bleibt. 
Der Satz für die untere Grenze g lautet analog. Zum Beweise 
suche man wieder in der Reihe rationaler Gröfsen 
q 1 2 . m 
’ n ’ n ’ n ’ 
wo n > 1 ist, zwei Gröfsen — und üiiL welche das Intervall von 
a bis h einschliefsen, theile das so gewonnene neue Intervall in q gleiche 
Theile ab, dann gibt es in jedem derselben für die den x' Werthen 
entsprechenden y Werthe eine obere Grenze und mindestens in einem 
Intervalle etwa von — bis ~ fli 1 ist diese obere Grenze gerade Gr. 
n n ° 
Durch die weitere Reihe 
,-.12 m 
’ n 2 * n 2 * n 2 ’ 
wird wieder mindestens ein Intervall etwa von bis 1 Z u be- 
1l 2 n 2 
stimmen sein, in welchem die den x Werthen zugeordneten y Werthe 
die obere Grenze G besitzen. Es ist aber 
gi ^ gz ~l~ i gz gl ~4~ i 
n n 2 ’ n 2 n 
n (*1 < Pi + 1 l i*2 < + 1 
oder 
Wft, g 2 , + 1 <; + n, 
und deshalb 
JfL < Jll gz + 1 < gi + 1 
n — n 2 ’ n 2 = n ’ 
d. h. das neue Intervall liegt ganz in dem ersten. 
In der Bildung neuer Intervalle gehe man in der angegebenen 
Weise weiter, so dafs stets 
♦ 
0 < — vg,,-! < n