Veränderliche Gröfsen, Gr öfsen mengen. 
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Existirt in dem Bereiche der Variabein x ein solches Gebiet (A), 
dafs nach Annahme einer beliebig kleinen Gröfse d für jede Stelle x {) 
innerhalb (A) eine Umgebung r n anzugeben ist, die nur Stellen x' 
umfafst, deren zugehörige Werthe y' die Bedingung 
W - ?/ol = I /■(»') — /’W! < s 
erfüllen, so heilst y eine in dem Gebiete (A) von x abhängige, stetig 
veränderliche Gröfse. 
Ebenso heilst eine von n Variabein x,, x 2 ,... x n abhängige Gröfse 
y in einem continuirlichen Bereiche (A) stetig veränderlich, wenn nach 
Annahme einer beliebig kleinen positiven Gröfse d für jede Stelle (.r (0) ) 
innerhalb (A) eine solche Umgebung angegeben werden kann, dafs für 
alle Stellen (a ,(1) ) dieser Umgebung der absolute Betrag 
1 ffav, x 2 M. . . xA l) ) - /w 0) , . . .X H W)\ < d 
wird. 
Ist nun y eine für jeden Werth x eines Intervalles (A) der (wieder 
reellen) Variabein stetig veränderliche, endliche Gröfse, die für alle 
Werthe einschliefslich der Grenzstellen des Bereiches 
(x — a, x = h = a -{- d) 
dehnirt ist, so erreicht y für einen bestimmten Werth X die obere 
Grenze G. 
Theilt man das Intervall in der früheren Weise ab, und nennt 
die Endpunkte der aufeinanderfolgenden Intervalle 
, h x • a 2 , h 2 : .... a v , h v ; .... 
so kommt man entweder auf eine Stelle, bei welcher der Werth von 
y gleich G ist, und dann ist die Behauptung erwiesen, oder der Thei- 
lungsprocefs ist unbegrenzt fortsetzbar. Dann defiuiren die Grenz 
stellen der Punktmengen: 
0\, . . . a v , ... 
b\ t ... h v} ... 
eine Stelle X und für diese ist f{X) = G. Wäre nämlich f\X) um 
eine endliche Gröfse 1: von G verschieden, also 
f\X) = G-U, 
so könnte y an der Stelle X nicht stetig sein.*) 
In der That kann man für die stetig veränderliche Gröfse y nach 
Annahme einer beliebig kleinen Gröfse d eine Umgebung der Stelle X 
so ausfindig machen, dafs für jede Stelle dieser Umgebung 
(x' = X — £, x' = X |) 
\f{x')-f{X)\ <d 
wird, ln das Intervall von X — £ bis X + £ fällt aber ein Intervall 
*) Vergleiche Serret 1. c, 
Biermann, Fuuotionentheorie. 
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