ET MÉTHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 
Í. 10. N\ 76. 
Taisons n —■ 2 a b n -f- 1, et donc q — 2 аб я ù ù : mettons-у b 8 — c, de sorte que b devient 
infini, alors q = 2 nac 8, et notre intégrale devient: 
2л’ас+о x 
r$ cp (Sin. a x, Ços fi x) dx = Lim. 8 r [qp (Sin. a 8, Cos. fi 8) -|- r cp (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8) -j- ... 
/ 
-j- r 2abn~i y (Sin. 2 a b ri « ù, Cos. 2 a b n fi 8) j. 
Maintenant prenons a, qui est encore une quantité tout-à-fait arbitraire, tel que a a et a fi devien 
nent des nombres entiers; ce qui est toujours possible, pourvu que a et /3 ne soient pas des 
nombres irrationnels: alors la périodicité des fonctions Sin. x et Cos. x donnera: 
Sin. [(2 n e a -f- /) a ùj = Sin. fa 8 , Cos. {(2 n ea +/) (3 A] — Cos. f fi 8-, 
et par conséquent : 
cp (Sin. [(2 n ea -j-/) « 5}, Cos. {(2 n e a f) fi 8}} = qp (Sin. fa 8, Cos. f fi 8). 
On pourra ainsi diviser la série de l’équation précédente en plusieurs périodes: 
r2nac-\-$ x 
I rd cp (Sin. a x, Cos. fi x) dx — Lim. 8 r [<p (Sin. a 8, Cos. fi 8) r q> (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8) 
' J -f" r 2a7r — 1 cp (Sin. 2 an a 8, Cos. 2 an fi 8) 
_j_ r 2a* ( p(Sin. a 8, Cos. fi d)-¡-r 2a ' K + 1 cp(Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8)-\-cp(Sin.2an a 8, Cos. 2 an fi 8) 
+ 
-f- r (c—i)2aT ( jp (Sin. a 8, Cos. fi 8) -j- r( c ~i)2a?r-f i y (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi S) -j- ... 
-f- r 2can—\ ç, (Sin. 2 an ad, Cos. 2 a n fi 8) j . . . . (201 a) 
— Lim. (l -j- r 2a ~ -j- r 4a7r r( c ~L 2 « 77 ) [<p (Sin, a 8, Gos. fi 8)-\-r cp (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8) 
r 2an—i qp (Sin.2ana8, Cos. 2 an fi 8)] .... (2016) 
= Lim. 8 r — [cp (Sin. a 8, Cos. fi 8) -f- rcp (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8) -j- ... 
r 2a7T—i ^ (Sin, 2 a n a 8, Cos. 2 a n fi 6)J .... (201c) 
Pour pouvoir employer la dernière équation sans crainte, il faut que c soit fini. Dans ce cas suppo- 
1 — r 2acn q —2 a c n r 2ac n— i 
sous r == 1, alors r x = 1 et la fonction ~ 1 _ r2a n = q = — 2anr 2 ^-\ = c > d’après la 
règle usuelle pour les fonctions indéterminées ; donc nous aurons : 
r^nac 
I cp (Sin. a x, Cos. fi x) dx = c Lim. 8 [9 (Sin. a 8, Cos. fi 8) cp (Sin. 2 a 8, Cos. 2 fi 8) -|- ... 
0 
Ç2 an 
-f-cp (Sin. 2 an a 8, Cos. 2 an f*)]-» cp (Sin. a x, Cos. fi x) dx , . . . (201) 
où l’on a transformé la série en intégrale définie, d’après la formule (3). Ce résultat est entière 
ment conforme à la supposition de périodicité, servant de base à la discussion précédente. 
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