77. Mais ce résultat ne vaut que pour un c fini, et quand a a et a [3 sont des nombres entiers. 
Gardons cette dernière condition et passons au cas de c infini. Alors le passage de (2015) à (201c) 
n’est plus permis en général, quand r devient l’unité: car dans la première on distingue deux fac 
teurs, dont le premier devient infini : donc pour que l’intégrale ne devienne pas infinie, il faut du 
moins que le second facteur soit zéro pour r l’unité, c’est-à-dire, que l’on ait: 
- г2атс 
{Sin.ud, Cos.fid)-\-q{Sin 2ad,Cos 2pd)-\ r ...-\-q{Sin.2aTTad,Cos.2aTTi3d')= I q{Sin.ax,Cos.(3x)dx—0. (202) 
о 
La différence du second facteur mentionné et de cette série donnera : 
S—(p[Sin.ctd y Gos.pd)-\-r<p{Sin.2ad, Cos.2(3d)-{-r 2 <p{Sin.3ad, Со8.3рд)-\-...-{-г 2а7 г- 1 (р[8ш.2аттад, Cos.2anfid) 
———r)q{S{n.2ad,Cos.2^d)—(1—r^)q{Sin.3ad,Cos.3^d)—(1—r 2a7r — x )<\{Sin.2anad,Cos.2a-n(id) 
q{Sin.2anad,Cos,2an^d]\ 
——(1—r) [ (jp {Sin .2 ad, Cos. 2 |3d) -j- - qp(Sm,3«d,(?os.3/5d)-j-...-}- 
L X T 1 T 
ou, eu ajoutant sous les crochets la série (202), zéro par hypothèse : 
— (1 —r)^q {Sin. ad, Cos.fi d) 2 cp {Sin. 2 ad, Cos. 2 fi d)-j- ( 1 
Ф {Sin. Зад, Cos. 3fid)-j- .., 
r y г 2ал—1\ 
-j- ( 1 — j ф {Sin. 2 a % a d, Cos. 2a n fi d)J. 
Voilà donc la valeur de la seconde série de la formule (2015); et son facteur 1—r rend la première 
1 — r 
série convergente, car (i ~-r) (1 — r 2a * -|- r 4ilT -j- ,.. r( c “ 1 ) 2a,T ) = (1 — r 2ca7f ) a une 
valeur déterminée, encore pour c infini. Donc la formule (2015) devient sous la condition (202): 
r2 Tac+l î i r 
j riïqiSin ax,Cos.fixdx~—L im.dr (1 — r 2ca7r)j ty^Sin.adyCos.pô)-^ 2cf{Sin.2ad,Cos.2fid}-{- 
j ' 1—r 2 “* L 
-f- ( 1 —j— — j rf {Sin. S ad, Cos.3 fi d)-J-•••-{" (1 — —~ J i{Sin. 2a n ad, Cos. 2 a n (5dJ, .(203)