§61. Gaußische Abb. §62. EnnepersSatzüb.d.Torsiond.Haupttangentenkurven. 119 
Diese wichtige Eigenschaft der Flächen von der mittleren Krümmung 
Null, der sogenannten Minimalflächen, bildet die Grundlage für den 
Zusammenhang, der, wie wir im weiteren sehen werden, zwischen der 
Theorie dieser Flächen und derjenigen der Funktionen einer komplexen 
Veränderlichen besteht. 
§ 62. Eigenschaften der Gaußiseben Abbildung und Satz von 
Enneper über die Torsion der Haupttangentenkurven. 
Aus den Gleichungen (1) können wir noch eine weitere bemerkens 
werte Folgerung ziehen. Wir nehmen an, das System (m, v) auf der 
Fläche wäre konjugiert, d. h. D' = 0. Die Gleichungen (1) ergeben: 
GD* , FDD" ED' 
e = 
EG — F*’ 
EG — F 5 
9 
EG — F- 
Bezeichnen wir mit co bzw. £1 den Winkel, der von den positiven Rich 
tungen der Parameterlinien in jedem Punkte der Fläche S bez. der 
Bildkugel gebildet wird, so folgt aus den Gleichungen (vgl. (6), S. 62): 
cos cj — 
das Ergebnis: 
cos Sl = *) 
.V e 9 
yEG 
cos Sl — + cos co, 
wo das obere Zeichen für einen hyperbolischen Punkt (bei dem D,D' 
verschiedene Zeichen haben), das untere für einen elliptischen Punkt 
gilt. Daraus schließen wir: Bei der sphärischen Abbildung bleibt 
der Winkel zweier konjugierter Richtungen auf der Fläche 
entweder ungeändert oder er geht in den Supplementwinkel 
über, je nachdem der Punkt, von dem die beiden Richtungen 
ausgehen, hyperbolisch oder elliptisch ist. 
Weniger streng ergibt sich dieser Satz auch auf Grund der folgenden 
Überlegung: Es seien t, t' zwei konjugierte Richtungen auf der Fläche. 
Daun erhalten wir, wenn wir mit den Symbolen d bez. d die nach 
diesen Richtungen gerechneten Differentiale bezeichnen (vgl. §56, S. 107); 
dxdX + Syd Y ÖzdZ = 0. 
Da nun dX, dY, dZ den Kosinus der t entsprechenden Richtung auf 
der Kugel proportional sind, so folgt, daß diese Richtung auf der Rich 
tung t' senkrecht steht. 
Hieraus ergibt sich, daß für die (aufeinander senkrechten) 
Hauptrichtungen und nur für diese die entsprechende Rich 
tung auf der Kugel der ursprünglichen parallel wird, wie 
auch aus den Gleichungen von Rodrigues (S. 101, (13)) erhellt. 
1) Es sei daran erinnert, daß die Vorzeichen der Wurzeln positiv zu nehmen sind.