§ 64. Allgemeine Formeln für die sphärische Abbildung. 
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nachdem die Haupttangentenkurve zur ersten oder zur zweiten Schar 
gehört. Demnach schließen wir: 
In den Gleichungen (b) gehören die oberen Vorzeichen zu 
den Haupttangentenkurven positiver Torsion oder der ersten 
Schar (linksgewuudenen), die unteren zu denen negativer Tor 
sion oder der zweiten Schar (rechtsgewundenen). 
§ 64. Allgemeine Formeln für die sphärische Abbildung. 
Für viele Fragen der allgemeinen Flächentheorie ist die Unter 
suchung der Flächen mit gegebener sphärischer Abbildung von 
^ Wichtigkeit. Wir wollen nun in diesem Paragraphen die allgemeinen 
Gleichungen aufstellen, die sich auf das Problem beziehen: Wenn die 
dritte Differentialform: 
(3) ds' 1 2 = edu 2 -f 2fdudv -f gdv 2 , 
gegeben ist, d. h. e, f\ g als Funktionen von u und v gegeben 
sind, sollen die zugehörigen Flächen bestimmt werden. 
Zu diesem Zwecke suchen wir die notwendigen und hinreichenden 
Bedingungen auf, denen die Koeffizienten D, D', D" der zweiten Grundform 
genügen müssen. Sind diese Bedingungen erfüllt und werden X, Y, Z 
als bekannte Funktionen von u und v vorausgesetzt, so läßt sich nach- 
weisen, daß sich die entsprechende Fläche mittels Quadraturen ergibt. 
Zunächst sind die Grundgleichungen (I), § 47, Kap. IV, S. 88, 
angewandt auf die Bildkugel, anzusetzen. Da die Kosinus der nach 
außen gerichteten Kugelnormale eben X, Y, Z sind, so ist die zweite 
Grundform bezüglich der Kugel, mit entgegengesetztem Vorzeichen ge 
nommen, mit der ersten identisch 1 ). Die angeführten Gleichungen 
lauten also in dem vorliegendem Palle: 
_ 
0M 2 
i'iysx 
( l ) du 
+ 
iiiuax 
l 2 ) dv 
— eX, 
(12) 
'dx 
+ 
1121 
'dx 
-fx, 
dudv 
{ 1 1 
du 
[ 2 j dv 
dv* ~ 
(22\'dX 
l 1 i du 
J_ 
1 
12 2, 
1 2 J 
'dX 
OV 
-gx, 
wo der Strich an den Christoffelschen Symbolen andeuten soll, daß die 
selben aus den Koeffizienten e,f,g der dritten Grundform (3) gebildet sind 2 ). 
1) Es wird hier also als positive Seite der Kugel die äußere genommen und 
in Übereinstimmung mit den grundlegenden Festsetzungen des § 46, Kap. IV, 
vorausgesetzt, daß auf dieser positiven Seite die positive t(-Richtung links von der 
positiven «-Richtung liege. 
2) Wie immer lassen wir auch hier die analogen Gleichungen in Y und Z weg.