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Kap. 7. Aufeinander abwickelbare Flächen. 
ab und bleibt demnach derselbe, wie die Fläche auch verbogen werden 
mag (vgl. § 55). 
Daraus ergibt sich der grundlegende Gaußische Satz: Das Krüm 
mungsmaß einer Fläche bleibt bei einer beliebigen Verbie 
gung der Fläche ungeändert. Dieses Ergebnis läßt sich auch noch 
in folgender Fassung aussprechen: Sind zwei Flächen aufeinander 
abwickelbar, so haben sie in je zwei entsprechenden Punkten 
gleiches Krümmungsmaß. 
Dieses ist die Eigenschaft, welche, wie bereits anderwärts (S. 104) 
bemerkt worden ist, dem Gaußischen Krümmungsmaß bei den geo 
metrischen Anwendungen überwiegende Bedeutung verleiht. 
Wir betrachten nun einen Differentialparameter der Form (1), der 
eine oder mehrere willkürliche Funktionen 
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enthält. Der Wert, den er in jedem Punkte der Fläche annimmt, ist 
von den Koordinaten, die zu seiner Berechnung verwandt werden, un 
abhängig und bleibt bei jeder beliebigen Verbiegung der Fläche der 
selbe. Werden cp, ip . . . gleich Konstanten gesetzt, so ergeben sich auf 
der Fläche ebenso viele Kurvensjsteme, und der Differentialparameter 
stellt einen mit diesen Kurven unzertrennlich verbundenen Ausdruck 
dar, der sich nicht ändert, wie die Fläche auch verbogen werden mag. 
Betrachten wir z. B. die geodätische Krümmung der Kurven 
cp = Const. Sie ist (§ 76, (3), S. 148) durch den Differentialparameter: 
gegeben. Daraus folgt: Die geodätische Krümmung einer auf 
einer Fläche gelegenen Kurve ändert sich nicht, wenn die 
Fläche verbogen wird. 
Insbesondere gehen die geodätischen Linien einer Fläche S bei 
einer Verbiegung von S in die geodätischen Linien der neuen Fläche 
über. Diese Tatsache folgt übrigens auch direkt aus der charakte 
ristischen Eigenschaft einer geodätischen Linie (§ 82, S. 161), die 
kürzeste Linie zu sein, die sich auf einer Fläche zwischen zwei ein 
ander hinlänglich nahen Punkten ziehen läßt. Hieraus ergibt sich ein 
neuer Beweis für die Unveränderlichkeit der geodätischen Krümmung 
bei einer Verbiegung, wenn man sich der in § 80, S. 155, für die geo 
dätische Krümmung gegebenen Definition bedient. 
Wir wollen hier noch bemerken, daß sich aus letzteren Über 
legungen ein anschaulicher Beweis für die Unveränderlichkeit des