Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 
1 
Kapitel 1. 
Kurven doppelter Krümmung. 
Tangente und Normalenebene. — Erste Krümmung oder Flexion. — Hauptnormale 
und Binormale. — Zweite Krümmung oder Torsion. — Frenetsche Formeln. — 
Die natürlichen Gleichungen einer Kurve. -— Zylindrische Schraubenlinien. — 
Abwickelbare Flächen. — Polardeveloppable einer Kurve. — Schmiegungskugel. — 
Evoluten und Evolventen. — Orthogonale Trajektorien eines ocA-Ebenensystems. — 
Bertrandsche Kurven. 
§ 1. Tangente und Normalenebene. 
Um eine Kurve C analytisch zu definieren, beziehen wir sie auf 
ein orthogonales Cartesisches Achsensystem OX, OY, OZ und drücken 
die Koordinaten x, y, z eines beweglichen Punktes der Kurve als 
Funktionen eines Parameters u aus: 
X = x(u), y ~= y(u), z = z{u). 
Bezüglich der Funktionen x(u), y(u), z(u) bemerken wir ein für 
allemal, daß sie samt ihren ersten, zweiten und dritten Diffe 
rentialquotienten als endlich und stetig vorausgesetzt werden, 
ausgenommen höchstens in einzelnen besonderen Punkten. 
Jedem speziellen Wert u x des Parameters u innerhalb des Inter 
valls, in dem die Funktionen x(u), y (u), z(u) definiert sind, entspricht 
eine spezielle Lage M x des erzeugenden Punktes M. Wenn sich u 
stetig ändert, so bewegt sich der Punkt M nach einem stetigen Gesetz 
im Raume und beschreibt so die Kurve G. Wir wollen nun immer 
anuehmen, daß die Richtung, in der sich der erzeugende Punkt M 
bewegt, wenn der Parameter u wächst, als die positive, die ent 
gegengesetzte als die negative Richtung der Kurve C aufgefaßt 
werden soll. 
In den meisten Fällen wählen wir als Parameter oder Hilfs 
veränderliche u den von einem festen (Anfangs-)Punkt der Kurve C 
gerechneten Bogen s derselben. In jedem Falle haben wir zur Be 
stimmung von s als Funktion von u die bekannte Gleichung: