Kapitel YIII. 
Verbiegung der Linienflächen. 
Aufeinander abwickelbare Linienflächeu. — Zweiter Beweis des Bonnetschen Satzes. 
— Beltramischer Satz und Folgerungen daraus. — Linienelement einer Linien 
fläche. — Striktionslinie und darauf bezügliche Sätze von Bonnet. — Haupttan 
gentenkurven der zweiten Schar. — Formel von Chasles. — Biegung der Linien 
flächen nach der Methode von Minding. — Methode von Beltrami und die darauf 
bezüglichen Fundamentalgleichungen. — Problem, eine Linienfläche derart zu ver 
biegen, daß eine auf ihr gegebene Kurve eine Haupttangentenkurve oder eine ebene 
Kurve oder eine Krümmungslinie wird. — Linienflächen, die auf Rotationsflächen 
abwickelbar sind. — Satz von Chieffi. 
§ 115. Aufeinander abwickelbare Linienflächen. 
Die besonderen Verbiegungen der Linienflächen, deren Möglichkeit 
wir am Schlüsse des letzten Kapitels erkannt haben, bieten ein beson 
deres Interesse, und ihrem Studium, das mit sehr einfachen Mitteln 
möglich ist, wollen wir dieses Kapitel widmen. Vor allem aber wollen 
wir mit Bonnet beweisen, daß mit der Untersuchung dieser Verbie 
gungen die allgemeine Aufgabe gelöst wird, alle Linienilächen zu finden, 
die auf eine gegebene Linienfläche abwickelbar sind. 
Es gilt nämlich der folgende Satz von Bonnet; Wenn zwei 
Linienflächeu, die nicht durch Verbiegung aus einundder- 
selben Fläche zweiten Grades hervorgegangen sind, aufein 
ander abwickelbar sind, so müssen sich die Erzeugenden der 
einen mit denjenigen der anderen decken. 
Daß die Biegungsflächen der Flächen zweiten Grades mit reellen 
Erzeugenden eine Ausnahme von diesem Satze bilden, erhellt daraus, 
daß eine Fläche zweiten Grades infolge ihrer Eigenschaft, eine doppelte 
Schar geradliniger Erzeugenden zu besitzen, so verbogen werden kann, 
daß man entweder die Erzeugenden des ersten Systems gerade läßt und 
die anderen krümmt, oder umgekehrt. 
Den genannten Satz beweisen wir folgendermaßen auf einfache 
Weise: Es seien S, S 1 zwei aufeinander abwickelbare Linienflächen, 
und wir nehmen an, daß beim Abwickeln den Erzeugenden u von S 
die Erzeugenden v von S t nicht entsprechen. Nehmen wir dann auf