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Kap. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
(1) 
8, S t die Kurven u, v als Parameterlinien an, so haben die beiden 
Flächen 8, S r die erste Fundamentalform gemein. Wenn wir mit 
Ddv? -f- 2D' dudv + D" dv 2 , 
D t du 2 -f- 2Di dudv -j- D^'dv 2 
die bezüglichen zweiten Fundamentalformen bezeichnen, so haben wir 
D" =0, D 1 — 0, da die u auf 8 und die v auf S x Haupttangentenkurven 
sind. Da ferner nach dem Gau Bischen Satze die beiden Diskriminanten 
der Formen (1) einander gleich sind, so ist: 
A' - ± D'. 
Nun bringen wir zum Ausdruck, daß die beiden Formen (1) den 
Codazzischen Gleichungen (IV*), § 48, S. 91, genügen, wobei wir be 
achten, daß die u, v geodätische Linien sind und also nach Formel 
(5*), S. 149: 12 21 _ j 11) _ q 
ist. Daraus folgen die Gleichungen: 
a/ B ,)+ 2 {"' " 
dv \yHG — F*j 
d ( B' 
1( B UA 12 1 
du\\/EG — F s ) 1 2 j 
}/EG — F* 
B' 
0. 
YE G — F i 
Sie zeigen uns, daß die Codazzischen Gleichungen auch erfüllt sind, 
wenn wir D und D" gleich Null setzen und D' den alten Wert lassen. 
Es existiert demnach eine dritte auf S und S t abwickelbare Fläche $ 2 , 
welche die u, v zu Haupttangentenkurven hat. S 2 ist also in doppelter 
Weise eine Linienfläche und folglich eine Fläche zweiten Grades, wie 
zu beweisen war. 
Was nun die auf Flächen zweiten Grades abwickelbaren Linien 
flächen anbelangt, so ist nach dem Vorstehenden (vgl. auch § 114) klar, 
daß ihre Erzeugenden sich mit der einen oder der anderen Schar der 
Erzeugenden der Fläche zweiten Grades decken. 
§ 116. Zweiter Beweis des Bonnetschen Satzes. 
Wir wollen nun für den Bonnetschen Satz in § 114 einen zweiten 
Beweis erbringen und einige ergänzende Bemerkungen daran knüpfen. 
Die Fläche S sei auf ihre augenblicklichen Haupttangentenkurven u, v 
bezogen, und wir nehmen an, 8 könne in eine Fläche S 1 so verbogen 
werden, daß die Haupttangentenkurven u Haupttangentenkurven bleiben. 
Für S sind die Werte der Koeffizienten der zweiten Grundform: 
^ ^ w, ^ B'