§ 116. Zweiter Beweis des Bonnetschen Satzes. 221 
und wenn wir die auf S x bezüglichen Werte mit D x , D x , D x " bezeichnen, 
so haben wir: 
A" = o 
und zufolge (III), S. 90: 
(2) D x = ± D'. 
Die zweite Codazzische Gleichung, in der zweiten Form (IV*), S. 91, 
ergibt: 
d 
8v 
( Dl - A 
KYeg — fv 
+ 
2 2 
A 
- 2 
1 2 
1 1 ) Y e g — f s 1 1 
a: 
Yeg — f* 
0. 
Wegen (2) fallen das erste und das dritte Glied fort, und es bleibt: 
Wäre D x gleich Null, so wäre S x zu S kongruent oder symmetrisch. 
Folglich ist für eine wirkliche Verbiegung mit Notwendigkeit: 
und die Haupttangentenkurven von S oder S x sind geodätische Linien, 
also gerade Linien, w. z. b. w. 
Dann ist es tatsächlich auf unendlich viele Weisen möglich, die 
Linienfläche so zu verbiegen, daß die Erzeugenden starr bleiben. Dann 
bleibt nämlich nur die erste Codazzische Gleichung (IV*), S. 91, übrig, 
die ergibt: 
{yeg-f*} 
dv 
2 2’ 
A 
1 2 J YEG — F 2 
0. 
Offenbar hat sie unendlich viele Lösungen, und ist D eine solche, so 
sind alle anderen von der Form: 
D x = D cp (u), 
wo cp (u) eine willkürliche Funktion von u ist. Bevor wir weitergehen, 
wollen wir die Bedeutung des Vorzeichens von D' für die Linienfläche 
S mit den Erzeugenden u untersuchen. Da dann J) gleich Null ist, 
ergibt die Anwendung der ersten Gleichung (b), § 63, S. 121, auf die 
Haupttangentenkurven u == const.:] 
jy | Veg^fy 
~ Q 
Diese Gleichung besagt nach dem dort Ausgeführten, daß D' positiv 
oder negativ ist, je nachdem die geradlinigen Haupttangentenkurven u 
links- oder rechtsgewunden sind. Bewegt sich (in einem oder im 
andern Sinne) im ersten Falle ein Punkt auf einer Erzeugenden, so 
dreht sich die Tangentialebene um sie von rechts nach links, im zweiten