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Кар. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
Falle dagegen ist es umgekehrt. Wir unterscheiden deswegen links- 
und rechtsgewundene Linienflächen; auf ersteren sind die krummlinigen 
Haupttangentenkurven rechts-, auf letzteren linksgewunden (§ 63). 
Somit haben wir: Der Koeffizient D' ist positiv oder negativ, 
je nachdem die Linienfläche links- oder rechtsgewunden ist. 
Wir kehren nun zu den Verbiegungen der Linienflächen zurück. 
Ist R die erste Linienfläche mit den Koeffizienten D, D', 0 (der 
zweiten Grundform), so sind diejenigen für die zweite Linienfläche R x 
a) Dcp(u), D\ 0 
oder auch 
b) D<p(u), — D', 0. 
Im ersten Falle haben die zwei Scharen von Erzeugenden auf R 
und R x denselben Drehsinn, und man kann durch stetige Verbiegung 
von der Fläche R zur Fläche R x gelangen, z. B. durch die von einem 
Parameter abhängige stetige Folge von Linienflächen, die den nach 
stehenden Werten von D, ТУ, I)" entsprechen: 
D[t{(p(u)-1) + 1], D', 0{0£t£l). 
Im Falle b) dagegen ist es unmöglich, durch stetige Verbiegung von 
R zu R x zu gelangen, doch braucht man für R x z. B. nur eine ihr 
symmetrische Fläche zu setzen, um auf den ersten Fall zurückzukommen. 
Wir können uns also bei Linienflächen auf Verbiegungen der ersten 
Art beschränken. 
§ 117. Beltramiseher Satz und Folgerungen daraus. 
Die erhaltenen Ergebnisse können wir sofort zum Beweise des 
Beltramischen Satzes verwerten; 
Ist auf einer Linienfläche R eine beliebige Kurve C ge- 
zogen, so gibt es eine und nur eine stetige Verbiegung der 
Fläche R, bei der die Erzeugenden starr bleiben und C 
Haupttangentenkurve auf der Biegungsfläche R i wird. 
Zum Beweise erinnern wir daran, daß für jede solche Biegungs 
fläche R l 
D x = Dqp(w), D x = D', D x " = 0 
ist; also lautet die Gleichung der krummlinigen Haupttangentenkurven 
auf R x : 
(3) 
Ist 
Dcp(u)du + 2D' dv = 0. 
V = f(u)