§ 121. Verbiegung nach Minding. § 122. Methode von Beltrami, 231 
Darin ist wie auf S. 225: 
Ä = 
m n 
, A, 
m n 
gesetzt. 
Da nun nach S. 225 
B 
n l 
rii' ’ 
G = 
M 2 sin 2 fl — V 2 > 0 
l m 
V m' 
ist, wenn die Fläche nicht in die Ebene abwickelbar ist, so führen die 
beiden Wertsysteme für p, q, r, die dem doppelten Vorzeichen der 
Wurzel entsprechen, zu zwei wesentlich verschiedenen Flächen. 
Wir haben demnach das Ergebnis: 
Jede Linienfläche kann so verbogen werden, daß ihr Leit 
kegel eine willkürlich gewählte Gestalt annimmt, und zwar 
auf zwei verschiedene Arten. 
Die zu der Bestimmung der beiden Biegungsflächen erforderlichen 
Rechnungen bestehen lediglich in Quadraturen. 
Werden die Werte (12) für p', q, r in den Ausdruck fürD' (S. 227): 
D = 
i 
yM i u i -p 2 Nu -)- sin* fl 
V m n 
l m n 
p q r 
eingesetzt, so ist ersichtlich, daß die beiden Werte für D' bis auf das 
Vorzeichen gleich sind; folglich (§ 116) sind die beiden entsprechenden 
Biegungsflächen nicht durch stetige Verbiegung aufeinander abwickelbar. 
§ 122. Methode von Beltrami und die darauf bezüglichen 
Fundamentalgleichungen. 
Nach der vorstehenden Methode lassen sich alle auf eine gegebene 
Linienfläche abwickelbaren Linienflächen wirklich bestimmen. Wollte 
man jedoch die willkürliche Punktion a (v) so bestimmen, daß sie einer 
gegebenen Bedingung genügt, so würde man in den meisten Fällen auf 
unüberwindliche Schwierigkeiten stoßen. 
Es ist dann die zweite Methode, zu deren Entwicklung wir nun 
übergehen und die von Beltrami 1 ) herrührt, vorzuziehen. 
Diese Methode besteht darin, daß man zunächst feststellt, was für 
Gestalten die Direktrix bei einer Verbiegung der Fläche annehmen 
kann. Für jede dieser Gestalten bestimmt sich die Gestalt der ent 
sprechenden Fläche auf Grund der Überlegung, daß sich die geodätische 
Krümmung und der Winkel -fl bei einer Verbiegung nicht ändern. 
1) Sulla flessione delle superficie rigate. Annali di Mat., 1865, 7. Bd., S. 106.