§122. Methode v. Beltrami. §123. Verbieg., bei dereineK.ine.Haupttk. übergeht. 233 
Elemente aus den Gleichungen (14) und (13) zu berechnen sind. Die 
vorliegende Aufgabe hängt demnach mit einer anderen aus der Kurven 
lehre zusammen, nämlich mit der Aufgabe, eine Kurve aus ihren natür 
lichen Gleichungen zu bestimmen (vgl. 1. Kap., S. 13 u. f.). 
§ 123. Problem, eine Linienfläebe derart zu verbiegen, daß eine 
auf ihr gegebene Kurve eine Haupttangentenkurve wird. 
Yon den voraufgehenden allgemeinen Ergebnissen machen wir nun 
die hauptsächlichsten Anwendungen. 
Wir stellen uns zunächst die Aufgabe, die Linienfläche so zu ver 
biegen, daß die Direktrix eine Haupttangentenkurve wird. Wir müssen 
dann 6 gleich Null (oder gleich n) setzen, und es ergibt sich dann 
aus (14): 
wo natürlich das Vorzeichen der rechten Seite durch die Bedingung 
bestimmt ist, daß der Wert für q positiv sein muß. Die Gleichung 
(15) ergibt dann; 
W t--—iM 
Somit haben wir wieder den Beltramischen Satz, S. 222, bewiesen: 
Jede Linienfläche kann so verbogen werden, daß eine be 
liebig auf ihr gezogene Kurve Haupttangentenkurve wird. 
Die verbogene Direktrix bestimmt sich aus den natürlichen 
Gleichungen (a), (b). 
Betrachten wir den besonderen Fall, in dem die Direktrix eine 
geodätische Linie ist. Dann ergibt sich: 
d. h. die verbogene Direktrix ist eine Gerade. Es folgt somit: 
Jede geodätische Linie einer Linienfläche kann durch 
Verbiegung der Fläche zu einer Geraden werden. 
Um für diesen Fall einfache Gleichungen zu erhalten, wählen wir 
die verbogene Direktrix als £-Achse und haben dann; 
p = 0, q = 0, r — v, n = cos &. 
Setzen wir noch: 
l — sin & cos m = sin fl sin ijj, 
so folgt aus: 
l' 2 m' 2 -\- n 2 = M 2