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Kap. 8. Verbiegung der Linienflächen. 
wie auf S. 230: 
Für die Biegungsfläche haben wir also nach (1), S. 224, die Gleichungen: 
x = u sin & cos y = w sin ff sin z = v -\- u cos ff. 
Ist insbesondere -fr gleich - , d. h. ist die Fläche der Ort der Binor- 
malen der Direktrix, so ist die Biegungsfläche ein gerades Konoid (vgl. 
S. 133), und da in diesem Falle l, m, n die Richtungskosinus der Bi- 
normale sind, also nach Definition von M und nach S. 8 die Größe 
M gleich ~ ist, wo die Torsion der ursprünglichen Direktrix be 
deutet, so ergibt sich: 
Besitzt nun noch spezieller die ursprüngliche Direktrix konstante Tor 
sion, so ist das Biegungskonoid die Minimal-Schraubenregelfläche. 
Werden umgekehrt alle Linienflächen gesucht, die sich auf die 
Schraubenfläche: 
v . v 
X = U COS y, y = U sin -V-, Z = V 
abwickeln lassen, für die das Quadrat des Linienelements 
ds 2 = du 2 -f- -f- 1 ^ dv 2 
7 v 
V, l = cos . 
v 
0, also 
ist, so ist p = 0, q = 0, r = v, 
nach (2), S. 224, und (13), S. 232: 
m = sin n 
k } 
M=l, N= 0, 
Hiernach ergibt Gleichung (15): 
1 
T 
l 
k 
Also: Die auf die Minimal-Schraubenregelfläche vom Para 
meter k abwickelbaren Linienflächen sind alle von den Bi- 
normalen der Kurven konstanter Torsion y erzeugten Flächen 
und auch nur diese. 
Wir setzen endlich voraus, daß die Direktrix der beliebig gegebenen 
Linienfläche eine Orthogonaltrajektorie der Erzeugenden sei. Machen 
wir sie durch Verbiegung der Fläche zu einer Haupttangentenkurve, 
so sind ihre Hauptnormalen die Erzeugenden der Biegungsfläche. Also: 
Durch Verbiegung einer Linienfläche können die Erzeu 
genden die Hauptnormalen einer beliebigen ihrer Orthogonal- 
trajektorien werden.