§123. Besondere Fälle. §124. Verbieg., bei der eine K. eben oder Krümmungsl. wird. 235 
§ 124. Problem, eine Linienfläche derart zu verbiegen, daß eine 
auf ihr gegebene Kurve eben oder eine Krümmungslinie wird. 
Wir wollen nun die Fläche so verbiegen, daß die Direktrix u = 0 
eben wird. Hierzu braucht nur in der Gleichung (15) ~ gleich Null 
gesetzt zu werden, was eine Differentialgleichung erster Ordnung: 
*1* (v, Q>*¿^1 = 0 zur Bestimmung von q liefert. Daraus schließen wir: 
Es ist auf oo 1 Arten möglich, eine Linienfläche so zu ver 
biegen, daß eine beliebige Kurve auf ihr eben wird. 
Ist insbesondere die gegebene Kurve eine Orthogonaltrajektorie der 
Erzeugenden, also ff gleich ^gleich Null, so wird Gleichung (15): 
ö '2 = N 2 , 
woraus durch Integration 
6 - N 2 dv 
folgt. Die ebene Biegungskurve bestimmt sich aus Gleichung (14), die 
COS Q 
Q - ~ N 
ergibt. 
Endlich untersuchen wir, ob es möglich ist, eine vorgegebene Kurve 
durch Verbiegung zu einer Krümmungslinie zu machen. Es sind 
X = COS 0 COS k — sin 0 cos I, Y = COS 0 cos — sin 0 cos rj, 
Z = cos 0 cos v — sin 0 cos £ 
die Richtungskosiuus der Flächennormale längs der verbogenen Direk 
trix, und wir haben, da die Krümmungslinie nach S. 06 Evolvente 
der von den Flächennormalen eingehüllten Kurve ist und daher hier 
in der zweiten Gleichung auf S. 28 für u, v, s die Werte — sinu, cos 0, 
v zu setzen sind; 
1 da 
T ~ dv 
Eliminieren wir 1 und mit Hilfe dieser und der Gleichung (14) 
Ql 
aus (15), so erhalten wir zur Bestimmung von 0 eine Differential 
gleichung erster Ordnung. Hierbei ist natürlich vorausgesetzt, daß ff 
nicht gleich ~ sei, denn sonst würde die Fläche in die Ebene abwickel 
bar sein 1 ). 
1) Dieses wird auch durch die eben angestellte Rechnung bestätigt, da die 
linke Seite von (16) gleich Null werden würde.