§ 125. Liuienflächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind. 237 
demnach: 
a(v) = k v cotg co, 
da wir die additive Konstante in u mit hineinziehen können. 
Das Quadrat des Linienelements der gesuchten Flächen ist also 
von der Form: 
(17) ds 2 = du 2 + [(w — kv cotg co) 2 -f- k 2 ]dv 2 . 
regelfläche vom Parameter k, für co =f= zum einschaligen Rotations 
hyperboloid, dessen Meridianhyperbel die Halbachsen a und h hat, wo 
a = kcotg(o, b = k ist, ivie man leicht einsieht 1 ). Also: Die ein 
zigen auf Rotationsflächen abwickelbaren Linienflächen sind 
die Biegungsflächen der Minimal-Schraubenregelfläche und 
des einschaligen Rotationshyperboloids. 
Die ganze Klasse der Flächen der ersten Art ist bereits in § 123 
als diejenige gekennzeichnet worden, welche die von den Binormalen der 
Kurven konstanter Torsion gebildeten Flächen umfaßt. 
Für die Flächen der zweiten Art gibt es einen eleganten, von 
Laguerre herrührenden Satz, zu dem wir in der folgenden Weise ge 
langen: Wir setzen in (17): 
kv 
u — kv cotg co = 
sin CO 
und erhalten für das Quadrat des Linienelements der in Rede stehen 
den Fläche den Ausdruck: 
+ l) dv 2 . 
sin 2 co 
ds 2 = du 2 + 2cos 03du l dv 1 -j- ( — 
Durch Vergleichen mit den ursprünglichen Bezeichnungen (S. 224) 
haben wir dann: 
Setzen wir diese Werte in (15) ein und beachten wir dabei, daß 
6 gleich — ist, so erhalten wir: 
cos co sin co sin co 
(18) 
^ T k ’ 
woraus der Satz folgt (vgl. S. 31): 
Die Kurven, in die der Kehlkreis des einschaligen Rota 
tionshyperboloids bei einer Verbiegung der Fläche, bei der 
die Erzeugenden Gerade bleiben, verzerrt wird, sind Bertrand- 
sche Kurven. 
1) Den direkten Nachweis überlassen wir dem Leser.