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Kap. 8. Verbiegung der Linienfläcben. 
Hieraus folgt eine Bestätigung der vorhin erwähnten Eigenschaft, 
daß das vorstehende Quadrat des Linienelements zum einschaligen 
Rotationshyperboloid gehört. Wenn nämlich die Striktionslinie eben 
wird (§ 124), so ist ~ gleich Null und nach (18) 
Q = h cotg CO. 
Die Striktionslinie wird also ein Kreis mit dem Radius h cotg co, und 
die Fläche ist offenbar ein einschaliges Rotationshyperholoid, das die 
sen Kreis zum Kehlkreis hat. 
§ 126. Satz von Chieffi. 
Wir schließen diese kurzen Untersuchungen über die Biegungs 
flächen der Linienflächen mit dem Beweise eines bemerkenswerten 
allgemeinen Satzes, der von Chieffi 1 ) herrührt und sich auf diejenigen 
Biegungsflächen der Linienflächen bezieht, hei welchen die Erzeugenden 
nicht geradlinig bleiben. Es sei also eine Fläche S auf eine Linien 
fläche R abwickelbar, und den Geraden auf R mögen (krumme) geo 
dätische Linien g auf S entsprechen. Wir betrachten auf S eine be 
liebige Haupttangentenkurve a der ersten oder der zweiten Schar und 
ziehen in jedem Punkte von a die Tangente an der durch ihn hindurch 
gehenden geodätischen Linie g. Die Ortsfläche dieser Tangenten ist 
dann eine der Fläche S längs der gemeinsamen Haupttangentenkurve 
a umschriebene Linienfläche R v Der Chieffische Satz lautet nun: 
Die Linienfläche R ± ist auf die Fläche S abwickelbar; 
bei dieser Verbiegung bleibt die Haupttangentenkurve a starr. 
Aus den allgemeinen Ausführungen in § 114 ergibt sich der Beweis 
für diesen Satz unmittelbar. Wir können nämlich die Fläche S stetig so 
verbiegen, daß die Haupttangentenkurve a starr bleibt und eine geodätische 
Linie g Haupttangentenkurve wird. Es gehen folglich diese geodätische 
Linie und infolgedessen (§ 117) auch alle übrigen geodätischen Linien g 
in Geraden über, und zwar offenbar in ihre Tangenten in den Punkten 
von a. Demnach ist die Biegungsfläche eben die Fläche jß x des Satzes. 
Wie man sieht, wird durch den Chieffischen Satz in endlichen Aus 
drücken die Aufgabe gelöst, die Fläche S ohne Verzerrung der Haupt 
tangentenkurve a in eine Linienfläche zu verbiegen. Er liefert zwei 
Reihen von Linienflächen, die auf die Ausgangsfläche R abwickelbar 
sind; doch ist zu beachten, daß die Flächen der einen Reihe links-, 
die der anderen Reihe rechtsgewunden sind. 
1) Chieffi, Sülle deformate dell’ iperboloide rotondo ad ima falda e su alcune 
superficie che se ne deducono. Giornale di Matern., Bd. 43.