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Kap. 9. Evolutenfläche und Weingartenscher Satz. 
in alle Krümmungslinien derselben Schar übergehen, so beschreibt ihre 
Evolute jT einen Mantel der Evolutenfläche. 
Vermittelst einfacher geometrischer Betrachtungen wollen wir nun 
einige grundlegende Eigenschaften der Evolutenfiächen ableiten und 
zunächst den Satz beweisen: 
Die Rückkehrkurven der abwickelbaren Flächen, welche 
die Orter der Flächennormalen längs der einzelnen Krüm 
mungslinien der Fläche sind, sind geodätische Linien der 
Evolutenfläche. 
Zum Beweise bemerken wir zunächst, daß jede Normale der Evol 
ventenfläche die Evolutenfläche in zwei Punkten berührt, und zwar den 
ersten Mantel S 1 im ersten Krümmungsmittelpunkt M 1} den zweiten 
Mantel $ 2 im zweiten Krümmungsmittelpunkt M 2 . Wir betrachten 
nun ein Bogenelement MM' einer Krümmungslinie der zweiten Schar. 
Die Normalen in M und M' schneiden sich (bis auf unendlich kleine 
Größen höherer Ordnung) im zweiten Krümmungsmittelpunkt M 2 und 
berühren den ersten Mantel S x in den bezüglichen auf ihnen gelegenen 
ersten Krümmungsmittelpunkten M 1 und M x . 
Die Ebene MM 2 M' enthält also zwei verschiedene Richtungen M 1 M i 
und M X M[, die von M i ausgehen und S x berühren, und ist folglich die 
Tangentialebene des ersten Mantels in M v Daraus folgt unmittelbar: 
Die Normale des ersten Mantels S 1 in M x ist der Tangente 
der ersten Krümmungslinie in M parallel. Entsprechendes 
gilt für den zweiten Mantel S 2 . 
Ist nun C x eine Krümmungslinie der ersten Schar und r x die 
Rückkehrkurve der von den Plächennormalen von S längs C x erzeugten 
abwickelbaren Fläche, so ist die Tangente von G t in M der Haupt 
normale der Evolute Fj parallel. Hiermit ist der vorhin ausgesprochene 
Satz bewiesen. 
Ferner können wir leicht auf einem der Mäntel der Evolutenfläche, 
z. B. dem ersten, die zu diesen geodätischen Linien F x orthogonalen 
Trajektorien bestimmen. Ist nämlich t x eine von diesen orthogonalen 
Trajektorien auf S x , ferner t die entsprechende Kurve auf S, so erzeugen 
die Normalen von S längs t eine Linienfläche, auf der die Kurven t 
und t x orthogonale Trajektorien der Erzeugenden sind Das zwischen 
t und t x liegende Stück MM X dieser Erzeugenden ist demnach konstant, 
wenn M längs t fortrückt (Satz (A), S. 157), d. h. längs der Kurve t 
auf S ist der erste Hauptkrümmungsradius r x konstant. Also: 
Die orthogonalen Trajektorien der geodätischen Linien, 
die auf einem der Mäntel der Evolutenfläche von den Nor 
malen der Evolventenfläche umhüllt werden, entsprechen