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Kap. 1. Kurven doppelter Krümmung. 
die dann beständen, würden cos cc, cos ß, cos y konstant sein und also 
die Gleichungen gelten: 
x = s cos tt + a, y = s cos ß -f b, z = s cos y -f- c, (a, b, c = Const.), 
die eine Gerade definieren. 
§ 3. Die Schmiegungsebene. 
Unter allen Ebenen, die durch den Punkt M der Kurve C gehen, 
befindet sich eine, die sich in der Umgebung von M weniger als jede 
andere von der Kurve entfernt und die Schmiegungsebene (osku- 
lierende Ebene) der Kurve in M heißt. Wir schreiben nun die 
Gleichung einer beliebigen durch den Punkt M(x, y, z) gelegten Ebene 
in der Form: 
(4) (X — x) cos a + (Y — y) cos h + (Z — z) cos c = 0, 
wo cos a, cos 1), cos c die Richtungskosinus der Normale bedeuten, 
wählen den Bogen s der Kurve als Parameter und betrachten einen 
M benachbarten Punkt M', der dem Werte s -\- h des Bogens ent 
spricht, wo h unendlich klein (von der ersten Ordnung) ist. Sind zlx, 
zly, ^1z die bezüglichen Zunahmen von x, y, z beim Übergänge von 
s zu s + h, so haben wir für die Entfernung d des Punktes M' von 
der Ebene (4) die Gleichung: 
d = z.Ix cos a + zly cos h -f- Az cos c. 
Nun ist 
(a) 
wo £ 1; £g, s 3 unendlich klein von der dritten Ordnung sind, und also 
wo rj unendlich klein von der dritten Ordnung ist. Die Ebene welche 
durch die Bedingungen: 
dx , , dy . dz A 
cos a -j- -f cos b + cos c — ü, 
d 2 x . 7 d*y d t z A 
cos a ~ d ^ -f cos b -f cos c dg2 = ü 
bestimmt ist, von denen die erste besagt, daß die fragliche Ebene durch 
die Tangente geht, ist also diejenige, welche in der Umgebung von M