§ 136. Beltramis Satz. § 137. Umkehrung des Weingartenschen Satzes. 255 
Offenbar ist S ein Evolutenmantel einer Fläche E } und einer der 
Hauptkrümmungsradien von E ist gleich dem Bogen der geodätischen 
Linien g, gerechnet von einer festen orthogonalen Trajektorie t. Der 
zweite Evolutenmantel S' von E heiße die Ergänzungsfläche zu S 
bezüglich der geodätischen Linien g. Sie kann auch als der Ort der 
Mittelpunkte der geodätischen Krümmung der zu den Kurven g ortho 
gonalen Trajektorien f definiert werden (S. 246). 
§ 137. Beweis der Umkehrung des Weingartensehen Satzes. 
Wir können nun die Umkehrung des Weingartenschen Satzes 
leicht beweisen. Es sei nämlich S eine auf eine Rotationsfläche ab 
wickelbare Fläche, und wir nehmen an, die geodätischen Linien g, 
die bei der Abwicklung in die Meridiane übergehen, seien 
keine geraden Linien. Die oo 2 Tangenten der Kurven g sind dann 
nach dem Vorstehenden die Normalen einer Fläche E. Wenn wir mit 
ds 2 = du 2 -f- fp 2 (u) dv 2 
das Quadrat des Linienelements von S, bezogen auf die geodätischen 
Linien g oder v = Uonst. und auf ihre orthogonalen Trajektorien, und 
mit r v r 2 die Hauptkrümmungsradien der Evolventenfläche bezeichnen, 
so haben wir nun: n - « + Const, 
also nach der Bemerkung am Ende von § 130, S. 246: 
1 Cp’ (u) 
i*i —r s qp(u) ■ 
Es sind daher r x und r 2 durch eine Gleichung verbunden, deren Natur 
lediglich von der Beschaffenheit der Funktion <p, d. h. von der Rota 
tionsfläche abhängig ist, auf welche die Fläche S abwickelbar ist. S ist 
also Evolutenfläche einer TU-Fläche. 
Der ausgeschlossene Fall kann in der Tat eintreten, und die Unter 
suchungen in Kapitel VIII (§ 123—125) über die Linienflächen er 
ledigen ihn vollständig. Wenn nämlich die geodätischen Linien g, die 
Biegungskurven der Meridiane, Gerade sind, so ist die Fläche der Ort 
der Binormalen einer Kurve konstanter Torsion, und die Rotationsfläche, 
auf die sie abwickelbar ist, das Katenoid (S. 237). Wir können also die 
Umkehrung des Weingartenschen Satzes folgendermaßen aussprechen: 
B) Mit Ausnahme der Linienflächen, welche die Orter 
der Binormalen der Kurven konstanter Torsion (und also auf 
das Katenoid abwickelbar) sind, kann jede andere auf eine 
Rotationsfläche abwickelbare Fläche als der eine Evoluten 
mantel einer TU-Fläche aufgefaßt werden.