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Kap. 9. Evolutenfläche und Weingartenscher Satz. 
§ 138. Besondere Formen des Linienelements auf der Kugel, die 
den TF-Flächen entsprechen. 
Die in den vorstehenden Paragraphen abgeleiteten Sätze lassen 
erkennen, daß die beiden Aufgaben, alle Biegungsflächen der Rotations 
flächen zu finden bzw. die TF-Flächen zu bestimmen, vollkommen gleich 
bedeutend sind. Letztere Aufgabe kann nun wieder, wie Weingarten 
gezeigt bat, auf die Bestimmung derjenigen besonderen Systeme von 
orthogonalen Kurven auf der Kugel zurückgefübrt werden, für die das 
Quadrat des Linienelements die Form: 
ds' 2 = edu 2 + gdv 2 , 
wo y eine Funktion von e allein ist, annimmt. 
Zum Beweise berücksichtigen wir, daß sich die Gleichungen (4), 
S. 242, für den Fall, daß die Fläche zur Gattung der TF-Flächen gehört, 
folgendermaßen schreiben lassen: 
31og]/e _ d r dr a 
~dv ~ dvj r, — 
Wenn wir integrieren und die Parameter u, v durch passende andere 
ersetzen, können wir 
(20) 
machen. Es ergibt sich demnach eine der beiden Größen e, y als 
Funktion der andern. 
Es ist zweckmäßig, die Integralzeichen aus diesen Gleichungen zu 
eliminieren. Dazu setzen wir, angenommen, daß r 2 und also auch 
Ye nicht konstant sei, 
dann sind Yy, r v r 2 Funktionen von a. Die erste der Gleichungen 
(20) ergibt: 
und die zweite ergibt: 
Setzen wir 
r 2 = fr(a),