§ 3. Die Schmiegungsebene. 
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weniger als die übrigen von der Kurve abweicbt. Somit haben wir 
die Existenz der Schmiegungsebene nachgewiesen, deren Gleichung wir 
nach dem Vorstehenden in Determinantenform wie folgt schreiben 
könnenQ: 
(5) 
X-x 
Y-y 
Z- 
dx 
dy 
ds 
ds 
ds 
ds 
d 2 x 
d*V 
d 2 z 
ds 2 
ds 2 
ds 2 
Eia Ausnahmefall tritt ein, wenn für den betrachteten Punkt M 
die drei Unterdeterminanten der Matrix 
dx 
dy 
dz 
ds 
ds 
ds 
d 2 x 
d?y 
d 2 z 
ds 2 
ds 2 
ds 2 
gleichzeitig Kuli sind; dann ist die Schmiegungsebene in M unbestimmt. 
Nun wird dies für gewisse einzelne (singuläre) Punkte wohl stattfinden 
können; sollte dies jedoch längs einer ganzen Strecke der Fall sein, so 
wäre die Kurve längs dieser Strecke geradlinig. In der Tat, berück 
sichtigen wir die Identitäten: 
dx d 2 x .dy d 2 y 
ds ds 2 ' ds ds 2 ' 
dz d 2 z ^ 
ds ~ds 2 = 
so sehen wir, daß die Summe der Quadrate der Unterdeterminanten in 
der obigen Matrix wegen (3) gleich dem Quadrat der ersten Krümmung 
ist. Wir wollen auch auf andere Definitionen für die Schmiegungsebene 
hinweisen, die immer auf die Gleichung (5) führen. Wenn durch die 
Tangente in M und durch einen Kurvenpunkt M' } der M benachbart 
ist, eine Ebene gelegt wird, so nähert sich diese, wenn M' gegen M 
konvergiert, der Schmiegungsebene als Grenzebene. Ebenso nähert sich 
die Ebene durch M und zwei andere benachbarte Kurvenpunkte M' 
und M" in der Grenze der Schmiegungsebene in M, wenn wir M' und 
1) Es ist klar, daß, wenn die unabhängige Variable u beliebig wäre, die 
Gleichung der Schmiegungsebene die analoge Form; 
' — X 
Y-y 
z-> 
dx 
dy 
dz 
du 
du 
du 
d 2 x 
d 2 y 
d 2 z 
du 2 
du 2 
du 2 
haben würde.