so folgt daraus: 
Wir können demnach unser Ergebnis so fassen: 
0) Wenn eine W-Fläche nach der Gaußischen Methode 
auf die Kugel abgebildet wird, so können die Parameter u, v 
ihrer Krümmungslinien so gewählt werden, daß das Quadrat 
des Linienelements der Kugel die Form: 
(21) 
annimmt, wo a eine Funktion von u und v ist und die Haupt 
krümmungsradien v 
(22) r 2 = #(«), = &(cc) — a&'(a) 
gegeben sind. 
Es gilt nun auch der umgekehrte Satz: 
C*) Wenn das Linienelementquadrat (21) zur Kugel vom 
Radius Eins gehört, so gibt es eine zugehörige TF-Fläche, 
die auf die Kugel abgebildet das sphärische System (u, v) zu 
Bildern der Krümmungslinien hat und derenHauptkrümmungs- 
radien durch die Gleichungen (22) gegeben sind. 
Dieses folgt unmittelbar daraus, daß dann die Grundgleichungen 
(4), S. 242, erfüllt sind. 
Wir fügen noch hinzu, daß sich, wenn X, Y, Z als Funktionen 
von u und v bekannt sind, die TF-Fläche mittels Quadraturen durch 
die Gleichungen ergibt (vgl. (3), S. 242): 
* ~J h If du +gf dv ) ’ y -ßh li du+ w ■ dv ) • 
ßi r ^ da+r ^ dv )- 
Verfahren wir mit den Gleichungen (1), S. 241, in derselben Weise 
wie soeben mit den Gleichungen (4), so erhalten wir die folgenden 
Sätze, die wir nur anführen wollen; 
D) Das Quadrat des Linienelements einer TF-Fläche, be 
zogen auf die Krümmungslinien (u, v), kann auf die Form: 
(23) 
a„a _ dui i d * 
_r ) 
gebracht werden, wo ß eine Funktion von u und v ist. Die 
Hauptkrümmungsradien der TF-Fläche sind dann durch die 
Gleichungen: 
(24) ' l = 
gegeben. 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl.