§139. Anwendung auf zwei Klassen von W- Flächen. 
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Wir können nämlich das Quadrat des Linienelements der Kugel 
in der allgemeinsten Weise auf die Form: 
(25) 
ds' 2 
du 2 dv 2 
sm - 
2 
die ja zum Typus (21) gehört, bringen, wenn wir in (21) 
G> a.'/ \ a 
a = sm - , ff (a) = cos 
/ / \ j 1 -j- COS tö J 
ff (a) da = —— dm, 
ff(a) = 
setzen, woraus 
CO Sin CO 
folgt. Die Gleichungen (22) ergeben dann: 
<0 -f- sin CO 
(26) = —4 » r. 
ai — sm co 
und als Gleichung, welche die Hauptkrümmungsradien der entsprechen 
den TF-Fläche verbindet: 
(27) 2(r 2 — r t ) = sin 2(r„ -f- r t ). 
Wir können demnach mittels Quadraturen auch die vollständige Klasse 
dieser TF- Flächen bestimmen, obgleich die Beziehung, die hier zwischen 
den Hauptkrümmungsradien besteht, ziemlich verwickelter Art ist. 
Die beiden Evolutenmäntel dieser TF-Fläche haben infolge der 
Gleichungen (19) und (19*), S. 253, als Linienelementquadrate: 
ds\ = j ^sin 4 -^ da 1 + 4 cos 2 -^ du^j , 
ds\ = j ^cos 4 “ d(D 2 + 4 sin 2 ~ dv 2 ^j ; 
sie sind also (da ds t in ds 2 übergeht, wenn ca durch n — ca und u 
durch v ersetzt wird) aufeinander und auf ein und dieselbe Rotations 
fläche abwickelbar. Auch von dieser speziellen Rotationsfläche können 
wir demnach alle Biegungsflächen durch Quadraturen bestimmen. 
Wir werden auf diese Ergebnisse in einem der nächsten Kapitel zurück 
kommen, wenn wir die elegante geometrische Konstruktion vonDarboux 
entwickeln, mittels deren man alle TF Flächen der Klasse (27) erhält. 
§ 140. Evolventen- und Ergänzungsflächen der pseudosphärischen 
Flächen. 
Zum Schluß wollen wir aus dem Wein gartenschen Satze einige 
Folgerungen ziehen, welche die pseudosphärischen Flächen betreffen, die 
ja zu den TF-Flächen gehören. 
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