§ 140. Evolventen- und Ergänzungsflächen der pseudosphärischen Flächen. 261 
pseudosphärische Fläche vom Radius B. Diesen wichtigen Satz (aus 
dem in Kapitel XYII Folgerungen werden gezogen werden) können 
wir nach § 180 auch so aussprechen: Der Ort der Mittelpunkte 
der geodätischen Krümmung einer Schar paralleler Grenz 
kreise auf einer pseudosphärischen Fläche ist wieder eine 
pseudosphärische Fläche. 
Indem wir nun zu den beiden anderen Fällen übergehen, sehen 
wir, daß sich für das Quadrat des Linienelementes des zweiten Evoluten 
mantels nach Gleichung (19*), S. 253, ergibt: 
im Falle (II): 
ds\ = tangh 4 dr\ + ^ jg, 
cosh 2 
im Falle (III): 
ds\ = cotgh 4 ^-±~ dr\ + ^-rtg 
sinh 2 — 
Jtl 
Die Meridiankurven der zugehörigen Rotationsflächen können in den 
beiden Fällen bezüglich durch die Gleichungen: 
r ~ sin ^ + cos 9>]> 
r - —i-= Sin y, 2 - B [log tang | + cos 50] 
definiert werden, wo Tc eine Konstante ist. Vergleicht man diese Glei 
chungen mit den früheren (§ 99, S. 189): 
r = B sin cp, z = B |^log tang j -f cos <pj, 
so sieht man, daß die erste Kurve die Projektion der gewöhnlichen 
Traktrix auf eine durch die Asymptote gelegene Ebene ist; wir be 
zeichnen sie als verkürzte Traktrix. Die zweite Kurve hat dagegen 
zur orthogonalen Projektion auf eine durch die Asymptote gelegte Ebene 
die Traktrix selbst und werde als verlängerte Traktrix bezeichnet. 
Also: Die Ergänzungsflächen einer pseudosphärischen 
Fläche in den drei Fällen (I), (II), (III) sind auf Rotations 
flächen abwickelbar, die bezüglich die gewöhnliche, die ver 
kürzte oder die verlängerte Traktrix zur Meridiankurve und 
die Asymptote zur Drehachse haben.